Solución del examen de febrero de este tema, en rojo los enunciados.
1. Una masa “M”, está encerrada en una superficie gaussiana, de forma que el flujo del campo es 8.
a)
Haz el dibujo
correspondiente a esa situación.
b)
¿Podría cambiar el
flujo del campo, si la superficie fuera de mayor tamaño que la que has
dibujado? Razona tu respuesta.
El flujo del campo sólo depende, según el teorema de Gauss, de la masa encerrada dentro, no del tamaño o forma de la superficie que la encierra. Por tanto, el flujo seguiría siendo 8.
a) Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie
de Kepler-186f.
b)
Un
satélite de 10 kg de masa orbita Kepler-186f a una distancia de 12.000 Km. Si
el satélite se encuentra dentro de su órbita, en el punto más cercano a la
estrella, representa los vectores de intensidad del campo gravitatorio en ese
punto y calcula el vector resultante.
Imagen fabricada con IADEBES HACER UN DIBUJO EN EL QUE APARTE DE LOS DATOS, ESTÉN
LOS VECTORES CAMPO GRAVITATORIO.
Sobre la superficie de un cuerpo celeste, el campo gravitatorio se define con la siguiente ecuación en función de su masa y del radio del cuerpo astronómico. La masa del planeta es 1.4·MTierra, y el radio del planeta R=1.1·RTIERRA, datos que vienen en el encabezado del examen.
g= G · M/R2 = 6.67 × 10-11 N(m/kg)2 · (1.4·5.97·1024
Kg)/(1.1·6.4·106m)2= 11.25 m/s2
DIBUJO
CON VECTORES PARA EL APARTADO (b)
En
el punto en cuestión, disponemos del campo gravitatorio de la estrella y del
planeta, con sentidos opuestos, por tanto los módulos se restan, y la dirección
y sentido del vector resultante será la del campo gravitatorio mayor.
El módulo del campo gravitatorio en el exterior de una masa se calcula con la siguiente expresión:
g= G · M/d2 siendo d la distancia del punto a
la masa M.
Tenemos
del apartado (a) los datos de la masa del planeta.
gplaneta = G ·
M/d2 = 6.67 × 10-11
N(m/kg)2 · (1.4·5.97·1024 Kg)/(12x106 m )2=
3.20 m/s2
La masa de la estrella figura en el encabezado Mestrella
= 2 x 1030kg ,y la distancia
al punto es de 0.4 UA, que se puede pasar a metros d=0.4 UA = 6·1010
m.
gestrella = G ·
M/d2 = 6.67 × 10-11
N(m/kg)2 · (2 x 1030kg)/( 6·1010
m)2= 0.037 m/s2
3.
La Agencia
Espacial Europea (ESA) está planeando una misión para estudiar el sistema de
Júpiter. Como parte de esta misión, se lanzará una sonda espacial que orbitará
alrededor de Júpiter y estudiará sus lunas. En un momento dado, la sonda
espacial se encuentra en el punto A, a una distancia de 2 × 108
metros del centro de Júpiter, y a una distancia de 2000 Km de la luna Europa,
(cuya masa es 4.80 × 1022 kg. En este punto, la sonda tiene una masa de 100 kg.
Júpiter tiene una masa de 1.9 × 1027 kg y un radio de 7 × 107
metros.
a.
Calcula la energía potencial gravitatoria de
la sonda espacial en el punto A.
b. La sonda espacial debe ser trasladada al punto B, situado a una distancia de 3 × 108 metros del centro de Júpiter, y a una distancia de 1700 Km de la luna Europa. Calcula el trabajo necesario para trasladar la sonda desde el punto A hasta el punto B, si se hace a velocidad constante.
c. Dibuja la gráfica energía-posición entre la nave y la luna Europa, (prescinde de Júpiter), con la energía potencial, la energía total. Ten en cuenta que es una órbita cerrada. Sobre la gráfica, a una distancia “d” que elijas, señala cuál sería en ese caso la energía potencial, la cinética y la energía total.
a) La energía potencial que registra la interacción entre dos masas, situadas a una distancia “d”, viene gobernada por la expresión: Ep=-GMm/d. Cuando aparecen varias masas, interaccionando con otra, se suman las energía potenciales escalarmente. Esto es lo que ocurre en el punto A, donde la sonda adquiere energía potencial de Júpiter y de Europa:
Ep = -GMJup·m
/ dJup - GMEur·m/dEur
=…
…= -[6.67·10-11Nm2/Kg2·1.9 × 1027
kg·100Kg/2·108m] – [6.67·10-11Nm2/Kg2·4.8 × 1020
kg·100Kg/2·106m] = -6.3·1010 J
La sonda se desplaza por efecto de los cohetes al punto B, que tiene otra localización, pero calcularemos la energía potencial en ese punto de la misma forma que hicimos en el punto a):
Ep = -GMJup·m / dJup
- GMEur·m/dEur =…
…=
-[6.67·10-11Nm2/Kg2·1.9 × 1027
kg·100Kg/3·108m] – [6.67·10-11Nm2/Kg2·4.8 × 1020
kg·100Kg/1.7·106m] =- 4.2·1010 J
El trabajo que hace el campo gravitatorio, al ser una fuerza conservativa,
es:
W=-ΔEp=-[- 4.2·1010
J-(-)6.3·1010 J] = - 2.1·1010 J.
En el cálculo anterior
hay que tener mucho cuidado con los signos menos, que están acumulados unos
delante de otros. El trabajo que harían los cohetes, al ser a velocidad
constante sin que cambie la energía cinética, sería el mismo que el del campo
gravitatorio, pero de signo opuesto:
Wcohetes= - Wcampo = 2.1·1010 Julios.
4.
Una masa “m”
penetra verticalmente y hacia arriba en una región donde existe un campo
gravitatorio horizontal hacia la derecha. Razona y concluye el tipo de
trayectoria que seguirá la masa en esa región.
Debemos
analizar qué tipo de movimiento hay en dos ejes perpendiculares, que por
comodidad en este ejercicio pueden ser vertical y horizontal. En el eje
vertical no actúan fuerzas, por lo que no hay aceleración. (Recuerda la segunda
ley de Newton: F= m·a). Así pues con la velocidad que comience a desplazarse en
el eje vertical, con ella permanecerá. En este caso ascendente.
En
resumen, en el eje vertical, mantendrá un MRU, movimiento rectilíneo uniforme.
En
cambio, en el eje horizontal hay un campo gravitatorio “g”, que hará que la
pasa sea “empujada” hacia la derecha. Al existir una una fuerza hacia la
derecha, aparece una aceleración igualmente hacia la derecha, por tanto
tendremos horizontalmente un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
MRUA, que hará que a cada instante se incremente la velocidad de desplazamiento
hacia la derecha.
EL
movimiento completo será la suma de ambos, MRUA en horizontal, y MRU vertical.
Como resultado es un movimiento parabólico, cuya trayectoria podría ser esta:
54. La
luna Titán, la más grande de Saturno, es un mundo fascinante con una atmósfera densa
y lagos de metano líquido. La Agencia Espacial Internacional (ASI) planea
enviar una sonda a Titán para estudiar su superficie y su atmósfera. La sonda
espacial, de 200 kg de masa, se encuentra en órbita circular alrededor de Titán
a una altura de 500 km sobre su superficie.
Datos:
- Masa de Titán:
1.35 × 10^23 kg
- Radio de Titán:
2.575 × 10^6 m
- Constante de
gravitación universal (G): 6.67 × 10^-11 N(m/kg)^2
Preguntas:
a) Calcula la velocidad orbital de la sonda espacial
alrededor de Titán.
b)
Deduce la ecuación de la velocidad de escape para un
objeto que de vueltas alrededor de otro, y ligados ambos por la fuerza de la
gravedad.
c)
¿Cuál
sería la velocidad de escape necesaria para que la sonda abandone la influencia
gravitatoria de Titán desde su órbita actual?
a) La sonda está orbitando a
500 Km sobre la superficie, así que orbita a una distancia del centro de Titán
de 5x105 m +25.75·105
m = 30.75·105 m
La ecuación para calcular la velocidad de escape viene a ser:
a) Si el cuerpo debe escapar de
la atracción gravitatoria, debe poder llegar a despegar con una velocidad de
escape, y llegar hasta el infinito, y allí detenerse. En el infinito no tendría
velocidad, y tampoco tendría energía potencial. Por tanto, la energía mecánica
total sería cero.
En ausencia de rozamiento, u otras interacciones, (caso
ideal), la energía se conservaría y por tanto la energía que tuviera la nave al
final, sería la energía que tuviera al comienzo, así en este caso cero.
La energía que tendría la nave al comienzo se dividiría en cinética y potencial. Y dentro de la expresión de energía cinética encontraríamos la velocidad de escape:
0=1/2 m·vesc2 –GMTITÁN m/d
Siendo m la masa de la nave, MTITÁN la masa de Titán, y d la distancia de la nave al centro de Titán, en este caso el radio de la órbita d=RORB.
0=1/2 m·vesc2 –GMTITÁN m/Rorb
Despejamos directamente y obtenemos la velocidad de escape:
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