Este examen está en línea con otros publicados, siento ser tan poco original. Suelen ser ejercicios clásicos, y muy comunes. Lamento que las imágenes capturadas de pantalla en ocasiones no sean muy claras, pero no sé porqué hoy ha salido así.
1. DIBUJA LAS LÍNEAS DEL CAMPO GRAVITATORIO DE...
A) Dos masas iguales cercanas.
Al ser las dos masas iguales, a ellas llegarán el mismo número de líneas, recordemos que llegan desde el infinito, y acaban en masas. No puede ocurrir que una línea salga de una masa y acabe en la otra.
Simplemente, una superficie atravesada por 8 líneas.
B) Una superficie abierta atravesada por un flujo de 8 líneas netas.
2. Una masa entra en la pizarra, o en el papel, con velocidad constante horizontal de izquierda a derecha. En el plano hay un campo gravitatorio vertical hacia abajo. Describe razonadamente la trayectoria seguida por la masa en este caso.
Como se puede ver en el gráfico de ayuda, en el sentido de las "X" no hay fuerza alguna, por lo que recorrerá con un MRU esa dimensión del espacio, con la velocidad inicial con la que entró en esa región.
Sin embargo, al existir un campo gravitatorio en el sentido negativo del eje de las "Y", aparecerá una fuerza cuantificada como F=m·g, en el mismo sentido que el campo. Esta fuerza provocará que exista una aceleración cuantificable aplicando la 2ª Ley de Newton: F=m·a. Como ambas expresiones son iguales: m·a=m·g, podemos fácilmente deducir que la aceleración irá en el sentido de campo.
Esta aceleración provocará que en el eje de las "Y" haya un MRUA, de forma que como al comienzo no había velocidad en el eje vertical, provocará que poco a poco vaya apareciendo una velocidad descendente, que cada vez va teniendo mayor valor, en definitiva que cada vez se mueve hacia abajo más deprisa.
La combinación de los dos movimientos, en el eje X el MRU, y en el eje de las Y el MRUA, dará lugar al movimiento parabólico dibujado.
3. Dos masas M y 2M, (de masas siendo M=10^12 Kg), se sitúan en los puntos (1,1) y (3,3), con las coordenadas métricas en el sistema internacional. Calcula el campo gravitatorio generada por ambas en el punto (2,1).
Representemos la situación:
Ahora procedemos de igual forma con g2, pero ahora con más cuidado con el vector unitario. Este último lo encontramos de forma geométrica, al tener un vector que va desde el punto P a la segunda masa, y dividirle por su módulo.
Ahora procedemos a sumar los dos vectores obtenidos, y obtenemos:
g = (11'9-66'7)i + 23'9j = - 54'8 i + 23'9 j(N/Kg)
4. Girando alrededor de un planeta de masa M=7·1023 Kg, se encuentra un satélite artificial de masa 500 Kg girado a una distancia del centro del planeta de 10.000 Km.
a) Deduce la expresión de la energía total del satélite supuesta una órbita circular.
b) Calcula la velocidad orbital, y el período.
c) Calcula la energía que tienen que proporcionar los motores para que la sonda cambie de órbita a una nueva situada a 30.000 Km, también circular.
Como la órbita es circular, conocemos la expresión de la velocidad orbital, imprescindible para sustituir en la energía cinética.
La energía total será la suma de energía cinética y potencial gravitatoria. Las sumamos y sacamos el factor común, tras operar obtenemos la expresión deseada.
ETOTAL=ECIN + Epot = 1/2m·Vorb2
-GMm/dorb = 1/2m·GM/dorb -GMm/dorb = -GMm/dorb(1-1/2) =
-1/2·GMm/dorb
En este ejercicio, M es la masa del planeta, y la d orb es el radio de la órbita.
Ahora podemos calcular la velocidad orbital:
Y con un cálculo sencillo también el período de traslación:
T=Espacio/Velocidad=2·π·d/Vorb=2π107m/2161m/s=29075
segundos = 8’07 horas
Finalmente para calcular la energía que aportan los motores vamos a calcular la energía total de la órbita a 10000Km y a 30000Km de radio orbital, la diferencia de energía la deben aportar las eyectores con el combustible correspondiente.
Efinal=-1/2 GMm/dfinal=-1/2·6.67·10-11Nm2/Kg2
·7·1023 Kg·500Kg/30·106m=-3’89·106 Julios.
Einicial=-1/2 GMm/dinicial=-1/2·6.67·10-11Nm2/Kg2
·7·1023 Kg·500Kg/10·106m=-11’7·106 Julios.
Diferencia
de energía = +7’81·106 Julios.
Esa energía
es la que deben proporcionar los motores.
5, Calcula a qué altura sobre la Tierra, g es el 20% de la aceleración de la gravedad de la Tierra sobre la superficie.
La aceleración de la gravedad sobre la superficie de la
Tierra, a una distancia “d” del centro de la misma es:
En esta expresión, cuando la masa es la de la Tierra, y la distancia la del radio planetario, (porque estamos sobre la superficie, ver figura), entonces vale 9’8m/s2.
Si nos alejamos de la superficie, debemos
sustituir d=R+h, siendo R el radio de la Tierra, y h la altura a la que subamos
sobre el suelo. Con esta nueva situación, el nuevo valor de g debe de ser el
20% de 9’8. Hagamos el planteamiento matemático:
Simplificando los elementos comunes en numerador y denominador, obtenemos:
