1. Una sirena tiene
una potencia de 500 wattios. Supongamos que las ondas sonoras se propagan en
todas las direcciones por igual, y sin absorción.
a. Calcula la
intensidad del sonido a 100 metros de distancia.
b. Cuál será la
intensidad a 10.000 metros de distancia si no hubiera absorción?
c. ¿Cuál es su
sonoridad en decibelios a 100 metros? Dato: Intensidad física umbral I0=10-12
Watt/m2
Supuesto ondas esféricas, la potencia energética se reparte a lo ancho de
una superficie esférica de área 4πR2, siendo R la distancia hasta el
origen. (El radio de la esfera)
I=Pot/4 πR2=(500 watt)/(4 π1002 m2)=3’9·10-3
watt/m2
Para hacer el caso (b), podemos repetir lo hecho antes, pero ahora con
10.000 metros
I=Pot/4 πR2=(500 watt)/(4 π100002 m2)=3’9·10-7
watt/m2
Calculamos la sonoridad comparándola con el umbral por medio de un
logaritmo:
S=10log(I/I0)=10·log(3’9·10-7 watt/m2/10-12
watt/m2)=55’9
2.
Una onda mecánica
correspondiente a las ondulaciones de una cuerda viene descrita por la
siguiente ecuación:
Ψ(x,t)=
23·sen(πx-πt/3) (en mm)
a)
Calcula
el valor de la amplitud, longitud de onda, frecuencia, período, fase inicial,
k, w y velocidad de propagación de la onda, salvo la primera, todas en el
sistema internacional.
b)
Dibuja
sendas gráficas que muestren el valor de Ψ(x,t) en función del tiempo y de la
posición a lo largo de dos ciclos completos.
c)
Para una
partícula situada a 0,5 metro del origen, obtén la ecuación de su movimiento y
con ella calcula su posición en t= 5 segundos.
Comparamos la ecuación que nos dan
con la genérica de una onda armónica, y obtendremos directamente amplitud, k, y
w:
Ψ(x,t)= 23·sen(πx-πt/3) (en mm)
Ψ(x,t)= A·sen(Kx-wt+ϕ0) (en mm)
Se deduce fácilmente que A=23 mm,
que k=π m-1,
y que w=π/3 s-1.
Y por supuesto fase inicial cero radianes.
Recordad que el argumento de la
función seno está unidades del sistema internacional.
Ahora podemos deducir la longitud
de onda, la frecuencia y el período:
λ=2π/K=2 m T=2π/w= 6 s Frecuencia = 1/T=1/6 Hz
Y la velocidad de la onda c= λ/T=0’33 m/s
Para el último apartado, primero
calculamos lo que tarda en llegar la onda hasta el punto en cuestión, porque
hasta entonces ese punto permanecerá en reposo. La onda se propaga en un
movimiento rectilíneo uniforme.
Tiempo de llegada a (x=0’5m) =
espacio/velocidad=0’5 m/0’33 m/s= 1’51 segundos, por tanto en ese instante
sabemos que la partícula situada allí, no ha comenzado a moverse. El movimiento
de esa partícula será un movimiento armónico simple de frecuencia igual a la de
la onda, y si asumimos que es una cuerda o la superficie del agua, su amplitud
será la de la onda.
Ecuación general y(t)=A·sen(wt+ ϕ0)
En este caso, sólo nos falta saber la
fase inicial del movimiento de la partícula: y(t)=23·sen(πt/3+ ϕ0)
Pero conocemos que en t=0, y=0 mm porque
no ha comenzado a moverse. Así pues, ….
0=23·sen(ϕ0) à sen(ϕ0)=0
à la fase inicial
será 0 o un múltiplo de pi, me quedo con cero que es lo más simple.
La ecuación de la partícula es
y(t)=23·sen(πt/3) en mm, calculamos para t=5 s:
y(t)=23·sen(π5/3)=-19’9 mm (La
calculadora en modo radianes, recuerdo)
3.
Una onda se
desplaza por una cuerda siguiendo la siguiente ecuación:
Ψ(x,t)= 3·sen(πx-πt/2)
(en mm)
Como la cuerda tiene una longitud de
2 metros y tiene los extremos fijos se produce una onda estacionaria por
superposición de las ondas incidentes y reflejada.
a.
¿Cuál es la ecuación de la onda
estacionaria producida?
b.
¿Qué distancia hay entre los nodos
de la onda?
c.
¿Qué armónico o fundamental se
produce? Dibújalo.
Una onda estacionaria responde al tipo y(x,t)=2·A·sen(kx)·cos(wt),
y está originada por dos ondas iguales, que se superponen en una región del
espacio, pero que tienen allí sentidos opuestos:
Ψ(x,t)= A·sen(Kx-wt) y Ψ’(x,t)= A·sen(Kx+wt) , prescindimos de la fase inicial para
generar claridad en la explicación. Comparando la ecuación que nos dan: Ψ(x,t)= 3·sen(πx-πt/2) (en mm), y lo anteriormente dicho, podemos
deducir fácilmente la ecuación de la onda estacionaria:
Y(x,t)=6·sen(πx)cos(πt/2).
Para la segunda parte, debemos saber que siempre la longitud entre dos
nodos es media longitud de onda. Procedemos como en el ejercicio (2) de este
examen, y encontramos que k=π m-1, y que entonces λ=2m. La distancia
entre nodos será de 1 metros.
Como la cuerda tiene 2 metros, y a cada metro hay un nodo, contando
con el inicial y el final, debe de haber otro nodo en el punto medio, por tanto,
se producirá el primer armónico por encima del fundamental:
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