1. Dibuja las líneas de campo gravitatorio, no olvides indicar el sentido de las mismas, alrededor de una masa puntual de tal forma que el flujo que genere cuando la masa la encerremos en una esfera sea de 8 líneas. (1 punto)
Las líneas del campo gravitatorio siempre acaban en las
masas. En este caso como necesitamos un flujo neto de 8 líneas, dibujamos 8
líneas. Es lo más fácil.
2.
Dos planetas de
masas 4·1025 Kg y 2·1024 Kg se encuentran separados por
80 millones de Km.
a)
Calcula el lugar
donde el campo gravitatorio se anula entre ambos.
b)
Calcula la fuerza
que sufriría una masa de 100 Kg situada en ese punto.
c)
Calcula la energía
potencial que tendría la masa anterior situada en ese punto.
d)
Calcula el trabajo
mínimo que haría el campo gravitatorio para llevar esa masa hasta el infinito.
Hagamos un dibujo esquemático para situar el ejercicio, a la
izquierda el planeta de mayor masa “M”, y a la derecha el de menor masa “m”. El
punto marcado con X es donde supuestamente se anula el campo, por hipótesis.
Siendo g1 y g2 los campos magnéticos
creados por M y m respectivamente.
Es obvio que a+b=D. Ahora planteamos que el campo magnético
en ese lugar sea cero, para ello los campos creados por cada masa deben ser de
igual módulo y sentido opuesto.
g1=g2 GM/a2 =Gm/b2 Eliminamos G, y quitamos los
denominadores.
M·b2 =m·a2
Y ahora hacemos la raíz
de los dos lados de la igualdad para eliminar los cuadrados.
RAIZ(M)·b =RAIZ(m)·a
Ya sólo falta poner b en función
de a, sabiendo que a+b=D
RAIZ(M)·(D-a)=RAIZ(m)·a
Despejamos a, que es la única incógnita.
RAIZ(M)·D –RAIZ(M)·a =RAIZ(m)·a
a=RAIZ(M)·D/{RAIZ(M)+RAIZ(m)}=RAIZ(4·1025Kg)·80·109m/{RAIZ(4·1025Kg)+RAIZ(2·1024Kg)=65·109
m
Es decir a 65 millones de Km de la masa mayor, y 15 millones
de la menor.
LA FUERZA que
sufrirá una masa cualquiera situada en ese punto es cero, porque el campo es
cero; por si acaso no te has dado cuenta: F=m’·g=m’·0m/s2=0N. Siendo
m’ la masa que colocamos en el punto anterior.
Una vez situado el punto, calculamos la energía potencial que
adquiere la masa m’=100Kg, que recordemos es debida a la proximidad con los dos
planetas, sumándose las contribuciones de ambos planetas:
U=U1+U2=-GM·m’/a – Gmm’/b=-Gm’(M/a+m/b)=
= - 6.67·10-11Nm2/Kg2·100Kg·(4·1025Kg/65·109m+2·1024Kg/15·109m)=
- 4.97·106 Julios
El trabajo que haría el campo para transportar esa masa desde
el punto en cuestión hasta el infinito sería la siguiente: (nótese que la
energía potencial en el infinito sería cero)
W=-(Ufinal-Uinicial)=Uinicial
= - 4.97·106 Julios
3.
El valor del campo
gravitatorio terrestre es de g=9’8 m/s2, sin embargo este valor sólo
es válido sobre la superficie terrestre. Esboza una gráfica mostrando como
varía el valor de g a diferentes distancias de la Tierra, y comenta por qué hay
distintos comportamientos.
El valor de g cambia con la
distancia al centro de la Tierra, pero de forma distinta si nos
encontramos en el interior del planeta a si nos encontramos en el exterior. En
el interior g es proporcional a la distancia al centro de la Tierra, mientras
que en el exterior del planeta es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia al mismo.
Esto es una consecuencia del
Teorema de Gauss, que de una forma indirecta nos señala que sólo nos interesa
la masa que tengamos debajo de nuestros pies, técnicamente diríamos que la masa
del planeta encerrada dentro de una esfera de radio igual a la distancia que
nos separa del centro del planeta. Entonces cuando estamos bajo la superficie
del planeta no interviene toda la masa del planeta.
4.
Varias fuerzas
actúan sobre una masa trasladándola de un punto a otro. Señala RAZONADAMENTE
cuáles de ellas son conservativas:
a)
La fuerza “A”
actúa de un punto a otro y siempre ejerce un trabajo de -150 Julios.
b)
La fuerza “B”
actúa de un punto a otro, y cuando el movimiento es en línea recta el trabajo
vale + 76 Julio, y en movimiento curvo +145 Julios.
c)
La fuerza “C” no
ejerce trabajo neto, W=0J cuando va de un punto a otro siempre.
d)
La fuerza “D” no
ejerce trabajo neto, W=0J, cuando el punto inicial y el final es el mismo
siempre.
Una fuerza conservativa es aquella que el trabajo que
ejerce en el traslado de una masa de un punto a otro no depende del camino
elegido para ir de un punto a otro. Por tanto en el caso (a) Es conservativa, y
en el (b) no.
Por la misma razón, el caso (c) también es de una
fuerza conservativa.
Otra forma de definir una fuerza conservativa es
cuando los puntos inicial y final son coincidentes, en ese caso el trabajo será
cero. Este es el caso d, y que corresponde a una fuerza conservativa.
5.
Sobre la
superficie de Marte, cuya masa es de 6’4·1023 Kg y radio 3400 Km,
hay una nave que necesita despegar.
a)
¿Cuál es la
velocidad de escape de ese planeta?
b)
Un orbitador está
contemplando la escena sobre el planeta, y enviando la información a la Tierra.
Si orbita a 300 Km sobre la superficie de Marte, calcula su velocidad orbital
supuesta órbita circular.
c)
Calcula la energía
total del orbitador del apartado anterior. Masa del orbitador 100 Kg
d)
Si el planeta
Marte se transformara en un agujero negro, (velocidad de la luz 3·10^8 m/s),
calcula qué radio tendría. ¿Afectaría a la velocidad orbital de la nave (b)?
a) La
velocidad de escape depende de la distancia al centro del planeta. En el caso
(a) es el radio del planeta.
Ve=RAIZ(2·G·M/d)=RAIZ(2·6.67·10-11 (Nm2/Kg2
)·6.4·1023Kg/3400000m)=5011 m/s
b) Lo mismo
hacemos con la velocidad orbital, en este caso d sería el radio del planeta más
los 300 Km.
Vo=RAIZ(G·M/d)=RAIZ(6.67·10-11 (Nm2/Kg2
)·6.4·1023Kg/3700000m)=3396 m/s
c) Al ser una
órbita circular, la energía total es la mitad de la energía potencial:
E=-(1/2)G·M·m/d= - (1/2) 6.67·10-11 (Nm2/Kg2
)·6.4·1023Kg·100Kg/3700000m =
= - 0.58·109 Julios
d) Despejamos
de la ecuación de la velocidad de escape la distancia al centro del planeta.
Ese sería el radio del planeta si se convirtiera en un agujero negro.
Ve2 =2GM/d
d=2GM/ve2=2·6.67·10-11(Nm2/Kg2
)·6.4·1023Kg/(3·108 )2(m2/s2)=
9.4·10-4 m
Es decir casi 1 mm, a ese tamaño se debería reducir Marte.
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