1. Desde el techo
cuelgan dos masas de 150 gramos de dos hilos de 3 metros de largo. Al cargarse
con la misma carga, se repelen de forma que los hilos se desvían 4º de la
vertical. ¿Qué carga tenían las masas?
DATOS: g=9’8m/s2; K=9·109Nm2/C2.
Reproducimos la situación física con ayuda
del croquis en el que figuran las fuerzas que actúan sobre una de las dos masas
cargadas. Sobre ella actúan tres fuerzas únicamente: El peso, la fuerza de
repulsión electrostática, y la tensión. Esta última hay que descomponerla en Tx
y Ty, para poder sumar vectorialmente las fuerzas y buscar que la resultante de
la suma sea cero.
En el eje Y, la condición de equilibrio
obliga que el peso sea compensado con la componente de la tensión, por tanto:
TY=P=m·g=0’15Kg·9’8m/s2=1’47N
Conocida la componente Ty,
podemos calcular la tensión: Ty=T·cos(4)
T=Ty/cos(4)
En el eje X, la componente TX
compensa la acción de las fuerzas eléctricas de repulsión: Tx=Fe.
Calculamos la componente X de la tensión por trigonometría, y la fuerza
eléctrostática de repulsión aplicando la Ley de Coulomb.
Tx=T·sen(4)=
Tysen(4)/cos(4)=0’103N
Tx=Fe
Fe=K·q·q/d2 Siendo K=9·109Nm2/C2,
q la carga, y d la distancia entre las cargas.
No conocemos la distancia “d”, pero la
calculamos a partir de la longitud del hilo por medio de la trigonometría:
d/2=L·sen(4)=3m·sen(4)
d=2·3m·sen(4)=1’42m
Despejamos
q, y ya podemos calcular el valor de las cargas, que no el signo.
q=RAIZ(Tx/K)·d=RAIZ(0’103N/9·109Nm2/C2)·1’42m=1’40·10-6C
2. Tres cargas se
sitúan alineadas de la siguiente forma, en el origen una carga de +3 nC, luego
a 4 metros una carga de -2 nC, y seguidamente a otros 10 metros una carga de
-10 nC.
a. Calcula el campo
eléctrico en el punto (20,0) de coordenadas. (SI)
b. Calcula la
aceleración que sufriría una carga de +5nC y 20 gramos de masa situada en el
punto (20,0)
c. Calcula el
potencial eléctrico en el punto (20,0).
d. Calcula el trabajo
ejercido por el campo para trasladas una carga de +5nC desde el punto (20,0)
hasta el punto (100,0).
Situamos las cargas y en el punto pedido dibujamos
los correspondientes campos eléctricos:
Como podemos observar, tenemos vectores de la misma
dirección y sentido opuesto. Que se restarán:
Etotal=(E1-E2-E3)i
Calculamos los módulos de cada uno de los campos eléctricos
creados por cada carga.
Carga “1”, situada a 20 metros del punto “P”. E1=K·Q1/r12=9·109Nm2/C2·3·10-9C/202m2=0’0675N/C
Carga “2”, situada a 16 metros del punto “P”. E2=K·Q2/r22=9·109Nm2/C2·2·10-9C/162m2=0’070N/C
Carga “3”, situada a 6 metros del punto “P”. E3=K·Q3/r32=9·109Nm2/C2·10·10-9C/62m2=2'5 N/C
Así pues: Etotal=(E1-E2-E3)i=(0’0675-0’070-2'500)i N/C=-2'5 i N/C
Supongamos que en el punto P una carga “Q”, entonces
sufrirá una fuerza F=Q·E, y esa fuerza provocará una aceleración que vendrá
dada por la segunda Ley de Newton: F=m·a. Con estas dos expresiones igualadas,
despejamos la aceleración:
Q·Etotal=m·a a=Q·Etotal/m=5·10-9
C·(-0’902i N/C)/0’02 Kg=0’225·10-6
m/s2
Para calcular el potencial eléctrico no tendremos
tantos problemas como con el campo eléctrico porque no es un vector, es una
magnitud escalar. Por tanto calculamos el potencial que crea cada carga, y
sumamos las tres cantidades.
V20=V1+V2+V3=KQ1/r1+KQ2/r2+KQ3/r3=
=9·109Nm2/C2
·3·10-9C/20 m + 9·109Nm2/C2 ·(-2·10-9C)/16
m + 9·109Nm2/C2 ·(-10·10-9C)/6 m= -14’775
Voltios
Para calcular el trabajo que emplea el campo para mover
una carga Q=+5 nC desde (20,0) hasta (100,0) en metros, debemos calcular
primero el potencial en el punto (100,0). Observa que las distancias del punto
(100,0) hasta esas cargas no son iguales que antes.
V100=V’1+V’2+V’3=KQ1/r’1+KQ2/r’2+KQ3/r’3=
=9·109Nm2/C2
·3·10-9C/100 m + 9·109Nm2/C2 ·(-2·10-9C)/96
m + 9·109Nm2/C2 ·(-10·10-9C)/86 m= -0’967
Voltios
Ahora podemos calcular el trabajo:
W=-Q· ΔV=-5·10-9C·(-0’967+14’775)Voltios=-69·10-9
Julios
3 Una esfera de 10 cm
está cargada a -500 V, y se pone en contacto con otra esfera de 30 cm que
inicialmente estaba descargada. Cuando se alcanza el equilibrio se separan.
a. ¿Qué carga tenía la
primera esfera inicialmente?
b. ¿Qué potenciales
tiene cada esfera después de alcanzado el equilibrio?
c. ¿Con qué carga se
queda cada esfera tras el contacto eléctrico?
Una esfera cargada tiene el potencial siguiente: V1=KQ1
/R1 siendo R el radio, y Q la carga almacenada. Despejamos la carga
y calculamos:
Q1=V1·R1/K=-500V·0’1
m/9·109 Nm2/C2=5’55·10-9 C
Cuando las dos esferas se pongan en contacto, la carga
de la primera esfera se trasladará parcialmente hasta la esfera 2, hasta que
los potenciales se igualen. Por tanto, cuando cese la transferencia de carga es
porque los potenciales estarán en equilibrio, igualados. Marquemos como V’ los
potenciales posteriores al contacto, y Q’ las cargas.
V1’ =V2’
KQ1’/R1 = KQ2’/R2 Despejamos Q2’ = (R2/R1)·Q1’=(30cm/10cm)·Q’2=3Q1’
Aún así no podemos calcular las cargas, nos hace falta
otra ecuación que se obtiene del principio de conservación de la carga: Q1=Q’1+Q’2=Q’1+3Q1’=4Q1’
Despejamos ahora Q1’=Q1/4=5’55·10-9C/4=1’39·10-9C
Q’2=3Q’1=3·1’39·10-9C=4’16·10-9C
Ahora podemos calcular el potencial de cualquiera de
las dos esferas, porque son iguales:
V=KQ1’/R1=9·109 Nm2/C2
· 1’39·10-9C/0’1 m=125 Voltios.
4 Disponemos de tres
condensadores de 20, 30 y 50 pF conectados en serie en un circuito donde una
batería suministra una fem de 15 voltios.
a. Calcula la
capacidad equivalente del sistema.
b. Calcula la carga de
cada condensador.
c. Calcula la
diferencia de potencial en cada condensador.
d. Calcula la energía
eléctrica almacenada.
Dibujamos un circuito con tres condensadores en serie.
Planteamos la expresión de la capacidad equivalente
para condensadores colocados en serie.
1/Ceq=1/C1+1/C2+1/C3
=1/20 pF + 1/30pF + 1/50pF = 0’103 pF-1
Ceq=(1/0’103)pF=9’67pF
Al estar situados en serie todos tienen la misma
carga, que coincide con la que tuviera el condensador de capacidad equivalente
antes calculado situado en lugar de los tres en serie.
Ceq=Q/V Q=Ceq·V=9’67·10-12F·15Voltios=0’145·10-9C
Ahora aplicamos la ecuación de definición de capacidad
de un condensador a cada uno de ellos, porque ya sabemos la carga que tienen.
V1=Q/C1=0’145·10-9C/20·10-12F=7’25V
V2=Q/C2=0’145·10-9C/30·10-12F=4’83V
V3=Q/C3=0’145·10-9C/50·10-12F=2’90V
Para calcular la energía acumulada en el sistema
aplicamos la expresión de la energía almacenada en un condensador al condensador
equivalente:
U=1/2· Q2/C=1/2 · (0’145·10-9C)2/9'67·10-12=1·10^-9 Julios
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