viernes, 15 de marzo de 2019

SOLUCIÓN EXAMEN CAMPO ELÉCTRICO EJERCICIOS - 2 BACH 1819





1.       Desde el techo cuelgan dos masas de 150 gramos de dos hilos de 3 metros de largo. Al cargarse con la misma carga, se repelen de forma que los hilos se desvían 4º de la vertical. ¿Qué carga tenían las masas?

DATOS: g=9’8m/s2; K=9·109Nm2/C2.

Reproducimos la situación física con ayuda del croquis en el que figuran las fuerzas que actúan sobre una de las dos masas cargadas. Sobre ella actúan tres fuerzas únicamente: El peso, la fuerza de repulsión electrostática, y la tensión. Esta última hay que descomponerla en Tx y Ty, para poder sumar vectorialmente las fuerzas y buscar que la resultante de la suma sea cero.
En el eje Y, la condición de equilibrio obliga que el peso sea compensado con la componente de la tensión, por tanto:
                                               TY=P=m·g=0’15Kg·9’8m/s2=1’47N

Conocida la componente Ty, podemos calcular la tensión:   Ty=T·cos(4)
T=Ty/cos(4)

En el eje X, la componente TX compensa la acción de las fuerzas eléctricas de repulsión: Tx=Fe. Calculamos la componente X de la tensión por trigonometría, y la fuerza eléctrostática de repulsión aplicando la Ley de Coulomb.
                               Tx=T·sen(4)= Tysen(4)/cos(4)=0’103N
                               Tx=Fe
                               Fe=K·q·q/d2   Siendo K=9·109Nm2/C2, q la carga, y d la distancia entre las cargas.
No conocemos la distancia “d”, pero la calculamos a partir de la longitud del hilo por medio de la trigonometría:
                                               d/2=L·sen(4)=3m·sen(4)
                                               d=2·3m·sen(4)=1’42m
               Despejamos q, y ya podemos calcular el valor de las cargas, que no el signo.
                               q=RAIZ(Tx/K)·d=RAIZ(0’103N/9·109Nm2/C2)·1’42m=1’40·10-6C


2.  Tres cargas se sitúan alineadas de la siguiente forma, en el origen una carga de +3 nC, luego a 4 metros una carga de -2 nC, y seguidamente a otros 10 metros una carga de -10 nC.
a.       Calcula el campo eléctrico en el punto (20,0) de coordenadas. (SI)
b.      Calcula la aceleración que sufriría una carga de +5nC y 20 gramos de masa situada en el punto (20,0)
c.       Calcula el potencial eléctrico en el punto (20,0).
d.      Calcula el trabajo ejercido por el campo para trasladas una carga de +5nC desde el punto (20,0) hasta el punto (100,0).

Situamos las cargas y en el punto pedido dibujamos los correspondientes campos eléctricos:
Como podemos observar, tenemos vectores de la misma dirección y sentido opuesto. Que se restarán:
                               Etotal=(E1-E2-E3)i

Calculamos los módulos de cada uno de los campos eléctricos creados por cada carga.

Carga “1”, situada a 20 metros del punto “P”.   E1=K·Q1/r12=9·109Nm2/C2·3·10-9C/202m2=0’0675N/C
Carga “2”, situada a 16 metros del punto “P”.   E2=K·Q2/r22=9·109Nm2/C2·2·10-9C/162m2=0’070N/C
Carga “3”, situada a 6 metros del punto “P”.   E3=K·Q3/r32=9·109Nm2/C2·10·10-9C/62m2=2'5 N/C

Así pues: Etotal=(E1-E2-E3)i=(0’0675-0’070-2'500)i N/C=-2'5 i N/C

Supongamos que en el punto P una carga “Q”, entonces sufrirá una fuerza F=Q·E, y esa fuerza provocará una aceleración que vendrá dada por la segunda Ley de Newton: F=m·a. Con estas dos expresiones igualadas, despejamos la aceleración:

Q·Etotal=m·a               a=Q·Etotal/m=5·10-9 C·(-0’902i N/C)/0’02 Kg=0’225·10-6 m/s2

Para calcular el potencial eléctrico no tendremos tantos problemas como con el campo eléctrico porque no es un vector, es una magnitud escalar. Por tanto calculamos el potencial que crea cada carga, y sumamos las tres cantidades.

V20=V1+V2+V3=KQ1/r1+KQ2/r2+KQ3/r3=

               =9·109Nm2/C2 ·3·10-9C/20 m + 9·109Nm2/C2 ·(-2·10-9C)/16 m + 9·109Nm2/C2 ·(-10·10-9C)/6 m= -14’775 Voltios

Para calcular el trabajo que emplea el campo para mover una carga Q=+5 nC desde (20,0) hasta (100,0) en metros, debemos calcular primero el potencial en el punto (100,0). Observa que las distancias del punto (100,0) hasta esas cargas no son iguales que antes.

V100=V’1+V’2+V’3=KQ1/r’1+KQ2/r’2+KQ3/r’3=

               =9·109Nm2/C2 ·3·10-9C/100 m + 9·109Nm2/C2 ·(-2·10-9C)/96 m + 9·109Nm2/C2 ·(-10·10-9C)/86 m= -0’967 Voltios

Ahora podemos calcular el trabajo:
 W=-Q· ΔV=-5·10-9C·(-0’967+14’775)Voltios=-69·10-9 Julios

3       Una esfera de 10 cm está cargada a -500 V, y se pone en contacto con otra esfera de 30 cm que inicialmente estaba descargada. Cuando se alcanza el equilibrio se separan.
a.       ¿Qué carga tenía la primera esfera inicialmente?
b.      ¿Qué potenciales tiene cada esfera después de alcanzado el equilibrio?
c.       ¿Con qué carga se queda cada esfera tras el contacto eléctrico?


Una esfera cargada tiene el potencial siguiente: V1=KQ1 /R1 siendo R el radio, y Q la carga almacenada. Despejamos la carga y calculamos:

Q1=V1·R1/K=-500V·0’1 m/9·109 Nm2/C2=5’55·10-9 C

Cuando las dos esferas se pongan en contacto, la carga de la primera esfera se trasladará parcialmente hasta la esfera 2, hasta que los potenciales se igualen. Por tanto, cuando cese la transferencia de carga es porque los potenciales estarán en equilibrio, igualados. Marquemos como V’ los potenciales posteriores al contacto, y Q’ las cargas.

V1’ =V2
KQ1’/R1 = KQ2’/R2      Despejamos Q2’ = (R2/R1)·Q1’=(30cm/10cm)·Q’2=3Q1

Aún así no podemos calcular las cargas, nos hace falta otra ecuación que se obtiene del principio de conservación de la carga: Q1=Q’1+Q’2=Q’1+3Q1’=4Q1
Despejamos ahora Q1’=Q1/4=5’55·10-9C/4=1’39·10-9C
Q’2=3Q’1=3·1’39·10-9C=4’16·10-9C

Ahora podemos calcular el potencial de cualquiera de las dos esferas, porque son iguales:

V=KQ1’/R1=9·109 Nm2/C2 · 1’39·10-9C/0’1 m=125 Voltios.


 4 Disponemos de tres condensadores de 20, 30 y 50 pF conectados en serie en un circuito donde una batería suministra una fem de 15 voltios.
a.       Calcula la capacidad equivalente del sistema.
b.      Calcula la carga de cada condensador.
c.       Calcula la diferencia de potencial en cada condensador.
d.      Calcula la energía eléctrica almacenada.

Dibujamos un circuito con tres condensadores en serie.

Planteamos la expresión de la capacidad equivalente para condensadores colocados en serie.



1/Ceq=1/C1+1/C2+1/C3 =1/20 pF + 1/30pF + 1/50pF = 0’103 pF-1



Ceq=(1/0’103)pF=9’67pF



Al estar situados en serie todos tienen la misma carga, que coincide con la que tuviera el condensador de capacidad equivalente antes calculado situado en lugar de los tres en serie.



Ceq=Q/V         Q=Ceq·V=9’67·10-12F·15Voltios=0’145·10-9C





Ahora aplicamos la ecuación de definición de capacidad de un condensador a cada uno de ellos, porque ya sabemos la carga que tienen.



V1=Q/C1=0’145·10-9C/20·10-12F=7’25V

V2=Q/C2=0’145·10-9C/30·10-12F=4’83V

V3=Q/C3=0’145·10-9C/50·10-12F=2’90V



Para calcular la energía acumulada en el sistema aplicamos la expresión de la energía almacenada en un condensador al condensador equivalente:


U=1/2· Q2/C=1/2 · (0’145·10-9C)2/9'67·10-12=1·10^-9 Julios




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