SOLUCIÓN RECUPERACIÓN 2BACHILLERATO CAMPO GRAVITATORIO

1. Enuncia las tres Leyes de Kepler. [1 punto define las tres Leyes correctamente]

Ø  1ª Ley:

“Los planetas se mueven en órbitas elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol”.

Ø  2ª Ley:

 “En su movimiento, el radio vector de los planetas respecto al Sol barre áreas iguales en tiempo iguales”

Ø  3ªley:

 “Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas”

2. ¿Por qué disponemos de dos ecuaciones para calcular la energía potencial U=-GMm/r, y U=mgh?

Supongamos que hay dos masas “M” y “m” a una distancia r una de la otra. La expresión exacta, (aunque habría que matizar rigurosamente hablando), es la primera. La segunda se emplea cuando estamos hablando de una masa “m” sobre el planeta Tierra a una distancia del centro del planeta r+h, siendo  r=R_Tierra  y h la altura sobre el suelo. Es una forma aproximada para calcular la energía potencial, pero que por su sencillez la hace muy aconsejables cuando el escenario físico no se aleja del suelo, es decir hasta que h alcanza unas cicfras tales que g se aleja del valor aceptado de 9,8 m/s².

3. ¿Por qué el campo gravitatorio es un campo conservativo? Justifícalo brevemente con ayuda de expresiones matemáticas. (1 puntos)

Las fuerzas conservativas se caracterizan porque el trabajo realizado por ellas para trasladar un objeto de masa “m” desde el punto A hasta el punto B no depende del itinerario que sigamos, y siempre es: W=-(U_final-U_inicial), siendo U la energía potencial. Las fuerzas gravitatorias cumplen con esta condición.

4. Tres masas de 20, 40 y 60 billones de Kg se encuentran situadas en los puntos de coordenadas (2,0); (3,0) y (4,4) cada una. Calcula el campo gravitatorio en el origen de coordenadas si todas las cantidades están dadas en unidades del Sistema Internacional. G=6.67·10^-11Nm²/Kg². [1 dibujo con todas las magnitudes involucradas; 0,5 planteamiento de ecuaciones y despejes; 0,5 unidades; 1 solución correcta]

Los vectores campo gravitatorio creados por cada masa los he sacado levemente de su dirección original con la idea de resaltarlos. Cualquier vector campo lo podemos escribir como el producto de su módulo por un vector unitario. De negrita escribo el vector, y en cursiva el módulo. Por ejemplo para el caso de la masa “1”: g₁=g₁·u₁

El módulo del campo gravitatorio es, (aplicado al ejemplo de la masa “1”):

                        g₁=G·M₁/r₁²

Siendo G la constante Universal de la gravedad, r₁ la distancia al origen en este caso de la masa “1”, y M₁ el valor de la masa en cuestión. Es fácil entender como esto se aplica a las masas 2 y 3. Aclaremos antes de avanzar más que las distancias al origen de “1” y “2” son fáciles de determinar por simple inspección: 2 y 3 metros respectivamente. Para la masa “3” hay que aplicar el Teorema de Pitágoras:

            r₃²=4²+4²=32 m²

Para el cálculo de los módulos lo tenemos todo en nuestra mano. Pero para calcular el vector completo nos es necesario conocer el vector unitario. Del dibujo vemos que los vectores campo “1” y “2” yacen sobre el eje de las “X”, luego el vector unitario es i. Para el caso de la masa “3” necesitamos calcularlo, para ello trazamos un vector auxiliar desde el origen a la masa “3”:

                        v₃=4i+4j

De forma que al dividirle por su módulo obtengamos un vector unitario en la dirección deseada:

                        u₃=(4i+4j)/raíz(32)=(i+j)/raíz(2)

Unimos todas las piezas del puzle y tenemos los vectores campo dispuestos a ser sumados para obtener el valor del campo gravitatorio total:

                        g₁=g₁·u₁= G·M₁/r₁² i

                        g₂=g₂·u₂= G·M₂/r₂² i

g₃=g₃·u₃= G·M₃/r₃² (i+j)/raiz(2)

g=g₁+ g₂+ g₃= {G·M₁/r₁²+ G·M₂/r₂²+ G·M₃/(raiz(2)·r₃²)}i+ {G·M₃/ raiz(2)·r₃² j}

={6.67·10^-11Nm²/Kg²·20·10¹²Kg/4m²  +  6.67·10^-11Nm²/Kg²·40·10¹²Kg/9m²  + 

+ 6.67·10^-11Nm²/Kg²·60·10¹²Kg/(32·1.41)m²}i + {6.67·10^-11Nm²/Kg²·60·10¹²Kg/(32·1.41)m²}j

= 718.6 i + 89.7 j

Repasen los cálculos por si he cometido algún error.

5. A) Demuestra la expresión para la velocidad de escape de un objeto de masa m, para huir de un planeta de masa M, y radio planetario R, desde su superficie. [1 punto demostración, 0,5 croquis con las magnitudes, 0,5 identifica a cada magnitud]

           El cohete partirá con una energía cinética y una energía potencial gravitatoria. Si quiere escapar debe llegar a un punto donde la influencia del planeta sea nula, para que la energía potencial sea cero eso ocurre en el infinito.

           Para llegar hasta allí debe de poseer una velocidad aunque sea muy baja, digamos que es casi cero, por lo que su energía potencial será cero. Por tanto en el punto de destino, la energía total será cero. Y como la energía se ha de conservar en ausencia de fuerzas no conservativas como el rozamiento, la energía de partida también tiene que ser cero.

B) Si el radio del planeta disminuye a la mitad y la masa del planeta sigue siendo la misma, ¿qué ocurre con la velocidad de escape? Justifícalo de forma matemática relacionándolo con la velocidad de escape anterior. [1 punto]

Con los datos que tenemos la velocidad de escape sería:

6. Dada la siguiente gráfica de energía en función de la distancia entre dos masas M y m, indica qué tipo de órbita seguirá la masa m alrededor de M, y sobre la distancia R marcada, señala la energía cinética, y la potencial que posee la masa m. La línea punteada simboliza la energía total, la gruesa la energía potencial [0,5 cada cuestión]