CINEMÁTICA DEL MAS
Un muelle tiene una longitud de 10 cm cuando está suspendido
de un gancho. Entonces se le cuelga una masa de 100 gramos y entonces mide 12
cm.
En esa situación, se tira con la mano de la masa
verticalmente, unos 3 cm. Entonces el objeto comienza a moverse siguiendo un
MAS.
a) Calcula la
frecuencia angular del oscilador, el período, la frecuencia y la amplitud.
b) Calcula la fase
inicial si cuando pulsamos el botón de inicio del cronómetro, la masa estaba en
su punto de máxima separación inferior del punto de equilibrio.
c) Escribe la ecuación
de MAS, para este caso.
d) ¿Cuánto vale la
velocidad máxima y la aceleración máxima de este MAS?
Este primer caso nos sirve para
conocer el valor de la constante de elasticidad del muelle. A través del
equilibrio de fuerzas entre la elástica Fe, y el peso de la masa:
Fe=Peso K·Δx=m·g Despejamos: K=m·g/Δx=0.1Kg·9.8m/s2/0.02m=49N/m
En el segundo caso, se nos señala
que estiramos el muelle 3cm, la amplitud del MAS, y se genera al soltar un
movimiento armónico simple, oscilando la masa en torno a la posición de
equilibrio del primer caso.
Conocido ahora la K del muelle,
calculamos la frecuencia angular del MAS.
W2=k/m w=RAIZ(K/m)=RAIZ(49(N/m)/0.1Kg)=22.13
rad/s
Y ahora calculamos el período y
la frecuencia:
W=2πν Despejamos la frecuencia: ν=w/2π=3.52 Hz
T=1/ν=0.28s
YA casi
tenemos la ecuación del movimiento: X(t)=A·sen(wt+ρ0)=3·sen(22.13t+ ρ0)
(cm)
Para obtener la ecuación del movimiento necesitamos saber la
fase inicial, como nos dicen que en t=0, X=-A=-3 cm, sustituimos en una
ecuación del MAS, cuya única incógnita es la fase inicial:
X(0)=-3=3·sen(22.13·0+
ρ0)=3·sen(ρ0)
Por tanto en seno debe de valer (-1), eso ocurre en –π/2.
X(t)=A·sen(wt+ρ0)=3·sen(22.13t-π/2)
(cm)
Ahora pasamos a calcular los valores máximos de la velocidad
y de la aceleración:
Vmax=+-A·w=3cm·22.23
rad/s=+- 66’69 cm/s
amax=+-Aw2=3cm·[22.13
rad/s]2=+-1469 cm/s2
ASPECTOS ENERGÉTICOS DEL MAS
Un MAS de 0’5 Kg de masa se mueve con la siguiente ecuación
del movimiento: x(t)=4·sen(π·t). (En S.I.)
a) ¿Cuál es la
frecuencia angular, la amplitud, y la fase inicial del MAS?
b) ¿Cuál es el valor
de la energía mecánica del sistema?
c) Calcula la Energía
cinética y potencial del sistema en los siguientes casos: x=0, x=A/2, x=A
d) ¿En qué punto la
energía potencial y cinética se igualan?
Desde la ecuación del movimiento que nos dan, y comparándola
con X(t)=A·sen(wt+ρ0), deducimos que A=4 m, w=πrad/s, y que no hay
fase inicial.
La energía mecánica de un MAS, es E=1/2K·A2, sólo
nos hace falta saber el valor de K=w2·m=π2·0.5 kg=4.93N/m
E=1/2·4.93N/m·42m2=39.44
Julios.
La energía mecánica se conserva en todo momento
del movimiento, y es la suma de la energía potencial y cinética de la masa.
Calculamos, por su sencillez, la
energía potencial en los puntos del dibujo, observaremos que en x=0 la energía
potencial es cero, por lo que toda la energía mecánica estará en forma de
cinética.
Ep=1/2Kx2=0
J (Por ser x=0m) Ec=E-Ep=E=39.44 Julios
Todo lo contrario ocurre en los
puntos distales de la posición de equilibrio, en X=A, donde la energía
potencial es máxima y la energía cinética cero:
Ep=1/2KA2=1/2·4.93N/m·42
m2=39.44 Julios Ec=E-Ep=E=0 Julios
Repetimos
operación para el punto x=2 m, en este caso calcularemos la energía potencial,
y restaremos de la mecánica para calcular la cinética.
Ep=1/2KA2=1/2·4.93N/m·22
m2=9.86 Julios Ec=E-Ep=E=29.58 Julios
En el
punto en el que la energía cinética y potencial son iguales, ambas valen la
mitad de la energía mecánica, es decir 39.44/2 Julios=19’72 Julios. A través de
la energía potencial calculamos la posición:
Ep=1/2K·x2 x=raíz(2·Ep/K)=raíz(2·19’72Jul/4.93N/m)=2’83
m
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA - TRABAJO
Un
vehículo de 1000 Kg de masa se mueve por una superficie horizontal situada a 35
metros sobre el suelo con una velocidad de 50 m/s, y entonces se encuentra una
rampa por la que asciende.
a.
¿Hasta
qué altura puede ascender?
b.
Tras
llegar a la cima desciende por el otro lado hasta llegar al suelo. ¿Con qué
velocidad llega al suelo?
c.
Una
vez en el suelo, se mueve por una superficie horizontal rugosa cuyo coeficiente
de rozamiento no es cero, de forma que después de 100 metros se mueve a 10 m/s.
Calcula el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
d.
Calcula
el coeficiente de rozamiento.
En la
primera parte del ejercicio, mientras no está en la zona donde hay rugosidad,
la energía mecánica se conserva, y esta será la suma de energía potencial y
cinética en todo momento. Hagamos un croquis para mostrar de forma simplificada
la situación. En cada punto marcamos con una barra la cantidad de energía, (de
forma arbitraria e hipotética) que hay en cada posición. Tengamos en cuenta que
la suma de potencial y cinética sería siempre el mismo valor.
Al comienzo el objeto móvil tiene velocidad y altura, por
tanto energía cinética y potencial. La suma de ambas será la energía mecánica
que tendrá en todo momento el objeto, también en la posición 2 y posición 3. En
la dos toda la energía se expresa como energía potencial porque ha alcanzado la
máxima altura, momento en el que idealmente el objeto se detiene y no tiene
energía cinética.
Ec1
+ Ep1 =Ep2 1/2m·v12
+ mgh1 =mgh2
Despejamos
h2 que es lo que desconocemos, nótese que la masa se va de la
ecuación por estar multiplicando a todos los términos de la misma.
h2=
(1/2·v12 /g) + h1=(0.5·502m2/s2)/9.8m/s2
+ 35 m =162.55 m
Hacemos lo
propio entre los puntos 1 y 3 para calcular la velocidad en este último punto.
Ec1 + Ep1 =Ec2 1/2m·v12
+ mgh1 =1/2mv32
Despejamos
v3 que es lo que desconocemos, nótese que la masa se va de la
ecuación por estar multiplicando a todos los términos de la misma.
V32=v12
+2gh1=502m2/s2 + 2·9.8m/s2·35m=858156
m2 /s2
Hacemos la raíz de la cantidad
anterior y obtenemos la velocidad=56.44 m/s
Para la parte final de ejercicio
tenemos que el objeto se mueve horizontalmente y pierde energía cinética debido
al trabajo que hace la fuerza de rozamiento. Supongamos que esta fuerza de
rozamiento tiene la expresión clásica Fr=µmg
W=Fr·distancia·cos(180)=
- µmg·d
Por otra
parte, el trabajo realizado por todas las fuerzas será igual a la variación de
la energía cinética:
W= ΔEc= Ecfinal
– Ec3 = 1/2·m(Vfinal2- V32)=1/2·1000Kg·(102m2/s2-56.442m2/s2)=
- 1.5·106 Julios
Despejamos
y calculamos el coeficiente de rozamiento µ=W/(mgd)=1.5·106
Julios/(1000Kg·9.8m/s2·100m)=1.5
CONSERVACIÓN
DE LA ENERGÍA - CHOQUES
Un
objeto de 500 gramos que se puede considerar a todos los efectos puntual, se
mueve de izquierda a derecha con una velocidad de 20 m/s. En su misma
dirección, pero en sentido opuesto se mueve otro cuerpo de 1200 gramos a 10
m/s. En el inevitable choque, que se puede considerar elástico, salen indemne
los dos objetos pero con otras velocidades, ¿cuáles son?
Como no hay fuerzas externas, la cantidad de movimiento se
conserva.
M1·V10+M2·V20
= M1·V1f+M2·V2f
Al
tratarse de un choque elástico, la energía cinética se conserva:
1/2M1·V102
+ 1/2M2·V202 = 1/2M1·V1f2
+ 1/2M2·V2f2
Ahora
sustituimos los valores en las dos expresiones, debemos darnos cuenta que en la
ecuación del momento las velocidades son en realidad vectores, pero que podemos
soslayar esas circunstancias al tratarse de un caso unidimensional si
consideramos sentido hacia la derecha positivo, y hacia la izquierda negativo.
Ecuación
del momento: 0.5·20-1.2·10= 0.5V1f+1.2V2f
Ecuación de
la energía: 0.5·400 + 0.6·100= 0.5·V1f2 + 1.2V2f2
Simplificando
términos: -2= 0.5V1f+1.2V2f
320=0.5·V1f2
+ 1.2V2f2
Seguimos
operando:
-4=V1f
+2.4V2f
640=
V1f2 + 2.4V2f2
Lo
resolvemos por sustitución:
V1f=-(4+2.4V2f) à 640=(4+2.4V2f)2
+ 2.4V2f2 = 16 + 19.2 V2f + 5.76 V2f2
+2.4 V2f2 =16+19.2V2f +8.16V2f2
Ecuación
de segundo grado: 8.16V2f2 + 19.2V2f – 624 =0
V2f
=(-10, +7.65)
La
primera solución hace referencia al punto inicial, antes del choque. Nos
interesa la segunda solución, +7,65 m/s para la velocidad de la segunda bola.
Ahora calculamos con este valor la velocidad final de la primera masa:
V1f
= -(4+2.4V2f)=-22.36 m/s
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