Esta es la solución del examen, espero no haberme quivocado en los cálculos, en todo caso el procedimiento es correcto. (Sí, me puedo equivocar, soy un miserable ser humano)
1.
Sabiendo que la fuerza se puede definir como masa x aceleración, y que la cantidad
de movimiento se puede definir como masa por velocidad, obtén la ecuación de
magnitudes para comprobar si es homogénea la siguiente expresión:
F x tiempo =
Cantidad de movimiento
Obtengamos la ecuación de magnitudes de las propiedades
derivadas del ejercicio:
[F]=[Masa x aceleración]=[Masa]x[Aceleración]=M x
[Velocidad/tiempo]=M·L/T2=MLT-2
[Cantidad de movimiento]=[Masa]x[Velocidad]=M·L/T=MLT-1
Entonces ya podemos concetrarnos en comprobar la condición de
homogeneidad de la expresión pedida:
[Fuerza] x [Tiempo ] =[Cantidad de Movimiento]
MLT-2 · T = MLT-1 Como efectivamente los dos términos de la
igualdad son iguales, entonces se cumple la condición de homogeneidad.
2.
Un objeto móvil tiene un vector de posición dado por la siguiente ecuación
vectorial:
, en unidades
del SI, obtén:
a) La
posición inicial.
b) El vector
desplazamiento entre los instantes inicial y t=3 segundos
c) La
VELOCIDAD MEDIA entre los instantes inicial y t=3 segundos.
d) La
VELOCIDAD INSTANTÁNEA en cualquier instante “t”.
3. Dos personas viven en dos ciudades separadas por 350 Km.
Salen al encuentro uno del otro simultáneamente, en sendos vehículos de
transporte. Uno de ellos se mueve a 100Km/h y otro a 75Km/h, y ambos siguiendo
un MRU. ¿Dónde y cuándo se encuentran?
Lo primero es plantear un croquis de la situación física que
nos plantean:
Ahora planteamos las ecuaciones del movimiento para cada
coche, tengamos en cuenta que no tienen velocidad, y que el coche de la derecha
se mueve hacia la izquierda, y tiene velocidad negativa. En las ecuaciones he
marcado de rojo las magnitudes desconocidas que debemos calcular, así veremos
las incógnitas y sabremos como resolver el sistema de ecuaciones.
COCHE A:
X= X
0A+V
a·
t
COCHE B:
X= X
0B+V
B·
t
Ahora despejamos sobre los símbolos, sin sustituir datos
numéricos. Lo resolvemos por sustitución:
X
0A+V
a·
t= X
0B+V
B·
t
X
0A-X
oB= V
B·
t -V
a·
t=(V
B-V
A)
t
t= (X
0A-X
Ob)/ (V
B-V
A)=(0Km-350Km)/(-75Km/h-100Km/h)=-350Km/-175Km/h=
2 horas
Punto de encuentro, fácil: X= X
0A+V
a·t=
100Km/h·2h=200Km
4.
Una persona se deja caer desde un avión en caída libre, (prescindir del
rozamiento del aire). El avión sobrevuela un terreno a 400 metros de altura.
Esta persona cae durante 6 segundos de forma libre. Al cabo de ese tiempo, abre
el paracaídas, y desde entonces cae con velocidad constante de 20 Km/h.
a)
¿A qué altura sobre el suelo se abrió el paracaídas?
b)
¿Qué velocidad llevaba en ese instante?
c)
¿Cuánto tarda en llegar al suelo desde que se lanza del avión?
Lo primero es plantear un croquis de la situación física que
nos plantean:
Tenemos que darnos cuenta que hay dos tramos con dos
movimientos distintos:
TRAMO 1: MRUA
Calculamos
la altura a la que abre el paracaídas, lo que ocurre a los 6 segundos.
Planteamos la ecuación del movimiento:
Y
1=Y
0
+V
0·t
1+1/2gt
12= Y
0 +
1/2gt
12= 400m -1/2·9’8m/s
2·6
2s
2=223’6
metros.
Calculamos
la velocidad que lleva en ese momento:
V=V
0+gt=g·t=-9’8m/s
2·6s=58’8
m/s
TRAMO 2: MRU, NO HAY ACELERACIÓN. Velocidad=20Km/h·(1000m/1Km)·(1h/3600s)=5’55m/s
Como
sabemos la altura desde la que cae, y la velocidad, calculamos el tiempo de
caída desde el punto “1” anterior hasta el suelo. EL punto “1” se convierte en
el punto inicial de este tramo.
Y
2=0=Y
1
+ V·t
2 Despejamos el
tiempo
t
2=-Y
1/V=-223’6m/(-5’55m/s)=40’28
segundos
TIEMPO TOTAL DESDE EL AVIÓN = 6s + 40’28s=46’28 s
5.
Un cañón dispara desde una llanura un proyectil a una velocidad de 300 m/s, y
con un ángulo de 30º. En frente tiene una montaña a 6 Km de distancia. ¿A qué
altura sobre la montaña impacta el proyectil? ¿Cuándo lo hace? ¿Con qué
velocidad golpea el proyectil sobre la montaña?
Lo primero es plantear un croquis de la situación física que
nos plantean:
Planteamos las ecuaciones del movimiento, sabiendo que las
componentes de la velocidad inicial las podremos calcular en cuanto nos haga
falta, porque con el módulo de la misma y el ángulo es inmediato.
EJE X – MRU, no hay aceleración:
X=V
0x·t
EJE Y – MRUA, aceleración g: Y=V
0y·t
+1/2
gt
2
En ambos casos, las coordenadas del punto de partida son (0,0),
por eso ya no las he incluido en las ecuaciones. Aplicamos las ecuaciones
anteriores al punto 2, del que sabemos la coordenada “X”. Marco en rojo las
incógnitas.
X
2=V
0x·
t2
Y2=V0y·t2
+1/2 gt22
La estrategia aparece claramente, primero calculamos el
tiempo en la primera ecuación, y luego sustituimos en la segunda y obtenemos la
altura sobre la montaña. Primero vamos a calcular las componentes de la
velocidad inicial:
t
2=X
2/V
0x=6000m/259’8m/s=23s
Ahora podemos calcular la altura sobre la montaña:
Y2=V
0y·
t2
+1/2 g
t22=150m/s·23s
-
0’5·9’8(m/s
2)·23
2s
2=857’9m
Lo último es calcular la velocidad a la que impacta sobre la
montaña, nosotros podemos calcular las componentes de la velocidad en cada eje
a través de las ecuaciones del movimiento:
EJE X –
VELOCIDAD CONSTANTE, V
x=259,8m/s
EJE Y –
MRUA – V
y=V
0y+gt
22=150m/s-9’8m/s
2·23s=-
75’4 m/s
La componente Y adquiere un valor negativo, porque el
proyectil impacta en la montaña durante la caída del mismo, tal como lo hemos
dibujado.
Ahora debemos calcular el módulo de la velocidad y el ángulo
de impacto, en el diagrama mostramos un tramo de trayectoria,
El triángulo simboliza la montaña, y tangente a la misma el vector
velocidad, recordemos que conocemos las componentes:
El ángulo lo calculamos con ayuda de la tangente. tg
(Θ)=Vy/Vx=75’4m/s/259’8m/s=0’29
Θ=arctg(0’29)=16’18º
El ángulo de la velocidad es el ángulo de impacto porque el
movimiento y la velocidad son paralelos. La dirección de la velocidad es la del
movimiento.
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