1.
Un objeto se mueve siguiendo la
siguiente Ley del Movimiento:
a.
Encuentra el vector velocidad
instantánea. Calcula el valor de la velocidad en t=2s.
b.
Encuentra el vector aceleración instantánea.
Calcula el valor de la aceleración en t=2s.
c.
Calcula el vector desplazamiento entre
t=0s y t=2 s, y calcula la distancia del desplazamiento.
Derivamos una vez
para encontrar el vector velocidad instantáneo:
V=dr/dt=t·i + 3j
Calculamos para
t=2s el vector velocidad: v=2i+3j
Derivamos de nuevo
y obtenemos el vector aceleración instantánea:
a=dv/dt= i
Que es constante
en el tiempo el vector, por lo que a los dos segundos a=i
Para calcular el
vector desplazamiento entre 0 y 2 segundos calculamos el vector de posición en
esos dos instantes, y restamos el uno del otro:
r(0s)=2i+j
r(2s)=4i+7j
Desplazamiento=r(2s)-r(0s)=2i+6j
La distancia
pedida es el módulo del vector anterior
Distancia=raíz(22+62)=raíz(40)=
6’32 m
2.
Un niño se encuentra a 5 metros de la
vertical de caída de un balón que está en lo alto de un árbol. En un momento
dado, el balón comienza a caer desde los 20 metros de altura.
a)
¿Con qué velocidad llega al suelo el
balón y cuánto tarda en caer?
b)
¿A qué velocidad debe correr el niño
para coger el balón en el momento de llegar al suelo?
El balón cae a lo
largo del eje Y con un MRUA, según la Ley: y=y0+Voyt+1/2
ayt2 Que al
tener varias magnitudes ifual a cero queda de la siguiente manera:
0=y0+1/2
ay·t2
De esta euación
podemos calcular el tiempo que debe tardar el balón en llegar al suelo:
t=RAÍZ(-y0·2/ay)=RAÍZ(-2·20m/-9’8m/s2)=2’02
segundos
Este es el tiempo
que debe emplear el chico para a velocidad constante coger el balón antes de
llegar al suelo, el chico sigue ecuación de movimiento rectilíneo con a=0 m/s2
X=x0+Vx·t
Vx=-x0/t=-20m/2’02s=9’9
m/s
3.
Una rueda de 25 cm de radio gira con
una velocidad lineal de 100 Km/h constante su punto exterior.
a.
Calcula la velocidad angular, período
y frecuencia de giro de la rueda.
b.
Calcula la aceleración normal de un
punto exterior de la rueda.
Hacemos un cambio de unidades
100 Km/h·1000m/1Km·1h/3600s=27,8 m/s
Calculamos la velocidad angular a través de su ecuación de relación
con la velocidad lineal.
W=v/R= 27’8m/s/0,25m=111’11 rad/s
Conocida la velocidad angular calculamos la frecuencia:
W=2∏F F=w/2∏=111,11 rad/s/2∏=17,7
Hz
Y ahora el período: T=1/F=0’057 s
Finalmente la aceleración normal:
an=V2/R=(27,8m/s)2/0,25m=3091’4 m/s2
4 Disparamos un proyectil
con un ángulo de 52º y con una velocidad de 175 m/s. Calcula la altura que
alcanza el proyectil, y el alcance máximo que obtenemos. Dibuja los vectores
velocidad y aceleración en los puntos más alto del recorrido, a media bajada y
en el punto de aterrizaje.
La
velocidad inicial V0 la descomponemos en cartesianas:
V0x=V0·cos(52)=175m/s·cos(52)=107’7
m/s
V0y=V0·sen(52)=175m/s·sen(52)=137’9
m/s
El
punto más elevado de la trayectoria se caracteriza porque la componente “y” de
la velocidad se anula. El cuerpo deja de ascender.
Vy=Vy0+gt 0= Vy0+gt Despejamos el tiempo y sabemos lo que
tardará el objeto en ascender.
t=-Voy/g=-137’9
m/s/-9’8 m/s2=14 segundos
Ahora
podemos saber hasta que altura asciende.
Y=y0+V0yt+1/2gt2=
V0yt+1/2gt2=137’9m/s·14s-1/2·9’8m/s2·142s2=970,2
metros
En
cuanto al alcance, como se trata de un movimiento simétrico en este caso, lo
que tardará en subir es lo que tardará en bajar, por tanto el recorrido
completo es 28 segundos. En ese tiempo se ha movido horizontalmente la
siguiente distancia:
X=X0+V0x·t=107’7m/s·28s=2015’6
metros
5 Un objeto describe un MAS con un
período de 5 segundos. De extremo a extremo del movimiento recorre 10 cm. No
hay fase inicial.
a)
Encuentra la ecuación del movimiento,
y calcula la posición a los 1,25 segundos y a los 2,5 segundos.
b)
Encuentra la ecuación de la velocidad
y de la aceleración, y calcula sus valores en los mismos instantes que en (a).
Como de extremo a extremo hay 10 cm, la
amplitud será la mitad de esa cantidad: A=5 cm.
Conocido el
período w=2∏/T=2∏/5 rad/s. La ecuación del MAS será:
X=A·sen(wt)=5·sen(2∏/5·t)
Calculamos la
expresión anterior para t=1,25 segundos y 2,5 segundos. Tenemos que tener
cuidado con la calculadora, que debe de estar en modo radianes para calcular el
seno.
X=5·sen(2∏/5·2’5s)=0 cm
X=5·sen(2∏/5·1’25s)=5 cm
La expresión de la
velocidad es
V=Aw·cos(wt)=5·2∏/5·cos(2∏/5·t)=2∏·cos(2∏/5·t)
Calculamos los
valores: v(1,25s)= 2∏·cos(2∏/5·1’25s)=0 cm/s
v(2’5s)= 2∏·cos(2∏/5·2’5s)=-2∏ cm/s
La aceleración se
obtiene de a=-w2·x=-4∏2·5·sen(2∏/5·t)=- 20∏2sen(2∏/5·t)
Y ahora obtenemos
el valor de la aceleración en los instantes pedidos:
a(2’5s)=-w2·x=-4∏2·0cm=0cm/s2
a(1’25s)=-w2·x=-4∏2·5cm=-20∏2 cm/s2
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