SOLUCIÓN EXAMEN CAMPO GRAVITATORIO 2BACH FÍSICA 1213

1.       Tres masas de 50, 100 y 150 millones de kilogramos se encuentran situados en los puntos (2,0); (0,4); y (-3,+3). Calcula el campo gravitatorio en el origen de coordenadas. [0,5 gráfico con vectores; 0,5 uso de unidades; 0,5 despeja antes de sustituir los datos; 0,5 uso notación vectorial; 0,5 solución].

Los campos gravitatorios son vectores dirigidos hacia las masas que los originan:

Es fácil comprobar que d₁=2m y que d₂=4m. Para d₃ aplicamos el Teorema de Pitágoras, a un triángulo de catetos de longitud 3.

               d₃²=3²+3³=18 m²

También es sencillo comprobar que el ángulo entre g₃ y el eje X es de 45º. Sin más que aplicar la definición de tangente:

               Tgα=3/3=1            arctg(1)=45º

Los vectores g₁ y g₂ sólo tienen componente X e Y respectivamente, pero el vector g₃ tiene ambas:

               g₃=-g₃·cos(45)i+g₃·sen(45)j

Sumaremos vectorialmente los vectores: (En negrita los vectores, sin negrita son los módulos de los vectores)

g=[g₁-g₃cos(45)]i + [g₂+g₃sen(45)]j

Siendo los módulos de los vectores:

g₁=G·(M₁/d₁²)       g₂=G·(M₂/d₂²)        g₃=G·(M₃/d₃²)

Procedemos a la suma vectorial: (No incluyo las unidades por razones de visibilidad de los cálculos, que a máquina tal vez no se ven bien)

g=[ G·(M₁/d₁²) - G·(M₃/d₃²)cos(45)]i + [G·(M₂/d₂²)+ G·(M₃/d₃²)sen(45)]j=

=G[(M₁/d₁²) - (M₃/d₃²)cos(45)] i+ G·[(M₂/d₂²)+ (M₃/d₃²)sen(45)] j

=6.67·10^-11[(50·10⁶/4)-(150·10⁶/18)cos(45)]i + 6.67·10^-11[(100·10⁶/16)+(150·10⁶/18)cos(45)]j=

=4,4·10^-4 i +8,1·10^-4 j N/C

Calculamos el modulo del anterior vector:

g=raíz cuadrada de(4,4²+8,1²)·10^-4 N/C=9,21·10^-4N/C

              

  

2.      Enuncia las Tres Leyes de Kepler. [1 punto las tres bien definidas]

Ø  1ª Ley:

“Los planetas se mueven en órbitas elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol”. La primera en la frente, y esta es novedosa, porque abandona sus preconcepción circular habida cuenta de los hechos. Estamos ante un hombre moderno. Quedan definidos el perihelio y el afelio

“Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas”

3.       Dos masas de 600 millones de Kg se encuentran situadas a 20 m una de otra. ¿Qué trabajo debemos hacer nosotros, moviendo a velocidad constante, una masa de 100 millones de Kg desde el punto medio de la línea que une a las dos primeras masas hasta 10.000 Km de forma perpendicular a dicha línea. [[0,5 gráfico; 0,5 uso de unidades; 0,5 despeja antes de sustituir los datos; 1 solución]

El trabajo que realiza el campo gravitatorio es W=-m·ΔV. Debemos calcula la diferencia de potencial entre los puntos A y B:

V_B=-GM/D-GM/D=-2GM/D=-2·6,67·10^-11N m²/Kg² ·(600·10⁶Kg)/10m

V_A=-GM/L-GM/L=-2GM/L= -2·6,67·10^-11N m²/Kg² ·(600·10⁶Kg)/10⁷ m

W=-m·(V_B-V_A)

Pero el trabajo que haremos nosotros en contra del campo será de la misma cantidad pero de signo contrario:

W’=m·(V_B-V_A)=m·{-2GM/L-(-2GM/D)}=2GMm·(1/D-1/L) =

= 2·6,67·10^-11N m²/Kg² ·(6·10⁸Kg)·10⁸ Kg·(1/10m-1/10⁷ m)=800400Julios

4.       Demuestra la expresión de la velocidad orbital. [0,5 croquis explícitas las variables; 0,5 hace demostración. Matemática; 0,5 explicaciones y aclaraciones]

En este caso supondremos órbitas circulares, entonces se deben de compensar las fuerzas centrífuga y gravitatoria:

                          

Siendo m la masa del cuerpo en órbita, v la velocidad de giro, R₀ el radio de la órbita circular, G la constante universal de la Gravedad, M la masa del cuerpo en torno al cual orbita m.

5.       ¿Qué ocurriría con el peso de un cuerpo si la masa de la Tierra fuera constante pero su radio se redujera drásticamente a la tercera parte? [1 punto]

Que el peso aumentaría nueve veces.Siendo G la constante universal de la gravedad, M la masa de la Tierra, m la masa del cuerpo, y R el radio de la Tierra, y R₀ el radio de la Tierra, el peso de un cuerpo en su superficie actual sería:

En el caso de las fuerzas conservativas el valor de la integral no depende del camino elegido para ir desde el punto A hasta el punto B, sólo depende de la diferencia de valores que adquiere en ambos puntos una función escalar conocida como energía potencial.

               W=-(U_B-U_A)

7.       Interpreta la siguiente gráfica de energía: (1 punto)

En el problema figura la línea azul, que corresponde a la energía total del objeto, que como vemos es negativa, la energía potencial dibujada de color rosa, y una estrella azul sobre el eje de abcisas que no indica la situación del objeto de masa M hasta el punto que origina el campo gravitatorio.

Trazamos una línea vertical discontinua, azul, que corta a la línea rosa de energía potencial en un punto marcado con una estrella rosa. La distancia entre dicho punto y la energía total es la cantidad de energía cinética que posee el cuerpo. El resto, bien leído sobre el eje de ordenadas, o representado por una línea vertical dirigida hacia el – infinito, es la cantidad de energía potencial.

En este caso, para la distancia considerada, tenemos una órbita cerrada del objeto de masa M en torno al punto que origina el campo, una órbita que no será circular al no ser iguales las energía cinética y potencial.