SOLUCIÓN EXAMEN MAGNETISMO + ONDAS 2BACH 21-22

 1.      Una onda se propaga hacia la derecha por una cuerda con velocidad 0,75 m/s generada por unos pulsos sucesivos, con frecuencia de 0,5 s^-1. La cuerda se eleva un máximo de 5 cm sobre la posición de equilibrio, y en el instante inicial en el punto x=0 m , la cuerda estaba en la posición de equilibrio.

a)      Calcula la amplitud, frecuencia, longitud de onda, fase inicial de la onda

b)      Encuentra la ecuación de la onda.

c)      Para el instante t = 3 s, determine la elongación, la velocidad y la aceleración de un punto de la cuerda que se encuentra a 1,5 m del extremo situado en el origen de coordenadas.

 

Directamente desde el enunciado podemos encontrar que la frecuencia es 0’5 Hz, la amplitud 5 cm. Para la longitud de onda aplicamos la conocida ecuación que relaciona velocidad de propagación y frecuencia:

c= λ·ν             ν=c/λ=(0’75 m/s)/0’5 s=1’5 m/s

 

Ya casi tendríamos la ecuación de la onda, a falta de la fase inicial:

 

K=2π/λ=2/3 π m^-1                     w=2πw=πrad/s

 

Ψ(x,t)= Ψ₀·sen(kx-wt+ φ₀)=5 · sen(2/3πx-πt+ φ₀)       (en cm)

 

Para calcular la fase inicial sabemos que Ψ(0,0)=0, por tanto es valor del seno debe ser cero, lo que implica que la fase debe ser cero.

sen(2/3π·0-π·0+ φ₀)=0= sen(φ₀)

 

Luego φ₀=0

 

Queda la ecuación así: Ψ(x,t)= 5 · sen(2/3πx-πt)

 

Para la última cuestión, debemos tener en cuenta que la onda se propaga gracias al movimiento armónico simple de las partículas del medio, pero estas partículas no se ponen en movimiento desde el comienzo. Las partículas no se moverán hasta que la onda llegue hasta su posición. En el caso que nos ocupa, nos preguntan por la partícula situada en x=1’5 metros. Esta partícula comenzará a oscilar cuando la onda, que se mueve a velocidad constante de 0’75 m/s, llegue hasta ella. Eso ocurrirá a los dos segundos del nacimiento de la onda en el punto x=0m y t=0s.

La ecuación de movimiento de una partícula siguiendo un MAS es:

y=A·sen(wt+ φ₀’)

En el caso de las cuerdas, la amplitud del movimiento de la partícula coincide con la amplitud de la onda, y la frecuencia es la misma que la de la onda. Sólo falta la fase inicial de la partícula. Sabemos que en t=2 segundos, y=0m porque es cuando va a comenzar a oscilar y está en la posición de equilibrio.

 

0=5·sen(π·2+ φ₀’)                 Por tanto: 0= sen(π·2+ φ₀’)

 

Lo que implica que 2π+ φ₀’=n·π rad, siendo n un número entero. Por lo tanto nos sirve un valor 0 rad para la fase inicial.

Y(t)= 5·sen(π·t)   (En cm)

Ahora podemos calcular la elongación “y” para t=3s. y(3s)= 5·sen(π·3)=0 cm

 

Para la velocidad, si no la sabemos de memoria derivamos Y(t),

V(t)=5π·cos(πt)= 5π·cos(π3)=-5π cm/s

Lo mismo cabe decir de la aceleración, podemos volver derivar la aceleración:

a(t)=-5π²·sen(πt)= -5π²·sen(π3)=0 cm/s²

 

 

2.      Dos conductores rectilíneos paralelos infinitos mantienen corrientes de 2 y 4 amperios, en sentidos opuestos, y están separados 8 metros. Suponer que estamos trabajando en el vacío.

a.      Calcula el valor del campo magnético en el punto medio entre ambos.

b.      Encuentra el lugar donde los campos magnéticos se anulen.

c.       Calcula la fuerza entre ambos conductores, y señala si es atracción o repulsión.

TODO ELLO DE FORMA RAZONADA, POR MEDIO DE DIBUJOS DE VECTORES QUE INCLUYAN AL CAMPO MAGNÉTICO, INDICANDO LA REGLA NEMOTÉCNICA EMPLEADA.

 

Hagamos un dibujo de la situación, con los conductores perpendiculares al plano de la pantalla o del papel, (lo que estemos utilizando). Como los conductores tienen sentidos opuestos, uno sale del papel, y otro entra. Con ayuda de la regla de la mano derecha, observamos que los dos campos magnéticos tienen el mismo sentido en el punto central entre ambos, y por tanto se sumarían sus módulos.

B_total=B₁+B₂=μ₀I₁/(2πa)+ μ₀I₂/(2πa)=

          = μ₀ (I₁+I₂) /(2πa) = 4π·10^-7 (T·m·A^-1)·(4+2)A/(2π4m) =3·10^-7T

 

El lugar donde el campo magnético se anule debe de estar fuera de la zona situada entre ambos, debe estar en alguno de los dos costados, lo normal es que esté más próximo al conductor que tenga menos intensidad. Esto es fácil de comprobar de nuevo con la regla de la mano derecha, observando que es allí donde los dos vectores tienen sentidos opuestos:

Igualamos los módulos de ambos vectores, por cierto, la distancia de el cálculo de B₂ es x+s=b+8.

                                                B₁=B₂

                                    μ₀I₁/(2πx)= μ₀I₂/(2π(x+8))

Podemos simplificar eliminando términos multiplicativos comunes en ambos lados de la igualdad:

                                    I₁/x= I₂/(x+8)   En unidades del sistema internacional

                        I₁(x+8)=x·I₂              x=8·I₁/(I₁+I₂)=8·2/6 m =2’66 metros

 La fuerza entre ambos conductores sería repulsiva, al tener sentidos opuestos, y su fuerza por unidad de longitud, aplicando directamente la ecuación al uso:

 (F/L)= μ₀I₁ I₂ /(2πs)= 4π·10^-7 (T·m·A^-1)·(4·2)A²/2π8m=2·10^-7N/m

 3.   Un solenoide largo, de 10 cm de longitud y 5000 espiras, arrolladas en torno a un núcleo de hierro de permeabilidad relativa 5000, y sostiene una corriente de 0,5 amperios.

a.      Dibuja la situación, con el solenoide y el campo magnético generado.

b.      Calcula el campo magnético generado.

Si frente a él, colocamos una espira perpendicular al mismo, y acercamos el solenoide hacia ella, señala gráficamente el sentido de la corriente generada, y explica por qué aparece.

El campo magnético de un solenoide, que en su interior tiene un núcleo de hierro, conocida su permeabilidad magnética:

 B=μ_rμ₀·N·I/L=5000·4π·10^-7 (T·m·A^-1)·5000·0’5 A/0’1m=157 T

 En principio el flujo que atraviesa la corriente es cero, pero al acercarla al solenoide penetraría varias líneas incrementando el flujo. La espira respondería creando una corriente cuyo campo magnético asociado tendría líneas de campo de sentido opuesto a las del solenoide. Entonces aplicamos la regla de la mano derecha, y deducimos sabiendo el sentido del campo el de la corriente eléctrica.

De rojo, la líneas de campo generadas por la corriente inducida, (de negro su sentido, deducido con la regla de la mano derecha (ver ejercicios anteriores).

 

 

4. ¿Qué ocurre cuando intentamos aplicar el Teorema de Gauss al campo magnético? ¿Con qué está relacionado este resultado?

El resultado ES SIEMPRE CERO, porque en una superficie cerrada habrá tantas líneas entrantes como salientes, y el resultado será cero. Este resultado está relacionado con la ausencia de fuentes escalares para el campo magnético, es decir, que no hay una carga magnética o monopolo magnético.

5. Enuncia la Ley de Ampere, y aplícala al siguiente caso, (para calcular la integral), donde cada símbolo es un conductor con su sentido de corriente. Todos tienen 2 A de intensidad y estamos en el vacío