SOLUCIÓN EXAMEN EJERCICIOS DE FUERZAS 1BI

ESTÁTICA

Un cuerpo de masa “M” cuelga de dos cuerdas del techo, estas guardan los ángulos que se ven en la figura. Calcula las tensiones de las dos cuerdas en función de la masa del cuerpo suspendido. Tomar g=10 m/s² para que resulten número más manejables.

Primero dibujamos las fuerzas que actúan sobre la masa suspendida. Sólo actúa el peso del cuerpo y las tensiones de las cuerdas, estas tensiones actúan en la dirección de la cuerda, tirando del cuerpo. Al dibujo anterior, ahora lo vamos a entresacar clocando un sistema de referencia coordenado sobre él, y descompondremos las fuerzas que actúan. Veremos que sólo las tensiones deben diferenciarse en componentes. Los ángulos se deducen fácilmente por la relación de opuestos por el vértice.

Al estar el sistema en equilibrio, la suma de las fuerzas sobre cada eje debe resultar cero:
                EJE X:    T_2x=T_1x                           T_2x=T₂·cos(30)                   T_1x=T₁·cos(45)
                               Sustituyendo, podemos obtener una relación entre T₁ y T₂:
                               T₂·cos(30)=T₁·cos(45)                    T₂·cos(30)/cos(45)=T₁

                EJE Y:    T_2y+T_1y=M·g           T_2x=T₂·sen(30)                   T_1x=T₁·sen(45)
                               Sustituimos las componentes por las relaciones anteriores: T₂·sen(30)+ T₁·sen(45)=M·g
                               Y en esta última expresión colocamos la relación entre las tensiones que deducimos en el análisis del eje X:
                               T₂·sen(30)+ T₂·{cos(30)/cos(45)}·sen(45)=M·g
                               T₂·sen(30)+ T₂·cos(30)·tg(45)=M·g

T₂·sen(30)+ T₂·cos(30)·tg(45)=M·g

T₂·(sen(30)+ cos(30))=M·g        Nótese que tg(45)=1

T₂=M·g/(sen(30)+cos(30))=(10/1.4)·M=7.3·M

Retomamos T₁= T₂·cos(30)/cos(45)=7.2·0.87/0.71·M=8.8·M

PLANO INCLINADO

Resuelve el siguiente caso de planos inclinados, sabiendo que el ángulo del plano es 22º, el coeficiente de rozamiento es 0’17 entre el objeto del plano y la superficie del mismo, el objeto en el plano desciende sobre el mismo con una velocidad constante, y la masa colgando en el vacío es de 20Kg. Debes calcular la masa que está en el plano y la tensión.

Primero dibujamos las fuerzas que actúan sobre cada masa, en el caso de la masa suspendida, M₁, sólo actúa el peso y la tensión de la cuerda que lo sostiene. En el caso del cuerpo sobre el plano, M₂, actúan el peso en su componente tangencial que tira de él cuesta abajo, y oponiéndose a él, la tensión de la cuerda y la fuerza de rozamiento. Además, actúa el Peso en su componente normal que lo aplasta contra el plano, y la reacción de la superficie del plano, o fuerza normal.
Aplicamos la segunda Ley de Newton a cada cuerpo por separado. Démonos cuenta que al ser velocidad contante, la aceleración de cada bloque es cero.
CUERPO 1:       T-P₁=M₁·a                                                  T-M₁·g=0                   Por tanto T=M₁·g=20Kg·9’8m/s²=196N
CUERPO 2:       P_t-F_r-T=M₂·a                               P_t=M₂·g·sen(22)                 Fr=μ·M₂·g·cos(22)      Sustituimos buscando despejar M₂
M₂·g·sen(22)- μ·M₂·g·cos(22)- T=0    M₂·( g·sen(22)- μ· g·cos(22))=T₂
M₂=T₂/g( sen(22)- μ·cos(22))=196N/(9’8m/s²·(sen(22)-0.17·cos(22)))=92 Kg

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Una pelota de velcro con 100 gramos de masa inicialmente en reposo es lanzada por una fuerza de 10 N durante 0’05 segundos. ¿Con qué velocidad sale despedida hacia la derecha?
(Si no has logrado calcular la velocidad anterior para hacer este otro ejercicio imagina que te hubiera salido en la respuesta anterior una velocidad de + 9 m/s, que no es la verdadera). Una vez adquirida esa velocidad, golpea en otra pelota de velcro de 300 gramos que se movía hacia ella, (derecha a izquierda) con una velocidad de ¿+-? 7 m/s. Como resultado del golpe se quedan unidas formando una única masa, ¿Hacia a dónde y con qué velocidad se mueven?
Vayamos con la primera parte, tenemos una fuerza que actúa sobre un intervalo de tiempo, provocando un aumento de la cantidad de movimiento.
F·Δt=Δ(m·v)=m·(V_final-V_inicial)=m·v_final     Al ser la velocidad inicial cero.
V_final=F·Δt/m=10N·0’05s/0’1Kg=5m/s
Vamos con la segunda parte, como hemos logrado calcular la velocidad final la haremos con ese dato. Si no hubiera sido posible, podríamos continuar con el dato “erróneo” que nos ofrecen para poder continuar.
Como no actúan fuerzas externas al sistema formado por las dos bolas, la cantidad de movimiento se conserva. LA cantidad de movimiento suma de las dos, no lo olvidemos.
Inicialmente: m₁·v₁+m₂·v₂=0’1Kg·5m/s – 0’3Kg·7m/s=-1’6Kgm/s
Debemos poner la velocidad de la “2” como negativa, porque se dirige en sentido opuesto a “1”, para chocar con ella.
Finalmente (m₁+m₂)·V=-1’6Kgm/s                        V=-1’6Kgm/s/0’4Kg=-4m/s    (Sentido de la bola “2”, que arrolla a la “1”)

FUERZA DE LA GRAVEDAD

Mi coche tiene 1100 Kg de masa, y mi bicicleta 10 Kg. Ayudándote de los datos de la tabla que te doy, (no todos son útiles), responde: (G=6’67·10^-11 N·m²/Kg²)
a) ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en Venus y en Marte?
b) ¿Qué masa tienen coche y bicicleta en Venus y en Marte?
c) ¿Cuánto pesan ambos en Venus y en Marte?

	RADIO (Km)	MASA (Kg)	Período Rotación	Período traslación
VENUS	6052	4’9·1024	116 días 18 horas	224’7 días
MARTE	3389	6’4·1023	24’6 horas	687 días

Aplicamos la expresión para calcular la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta, con los datos de cada uno de ellos:
g_Marte=G·M_Marte/R_Marte=6’67·10^-11Nm²/Kg²·6’4·10²³Kg/3389000²m²=3’7m/s²
g_Venus=G·M_Venus/R_Venus=6’67·10^-11Nm²/Kg²·4’9·10²⁴Kg/6052000²m²=8’9m/s²

La masa de los dos objetos, es la misma en cualquiera de los dos planetas porque la masa no depende de ello.
Sí el peso, entonces: P=m·g, como cambia g, cambia el peso de cada objeto en los dos planetas.
Bicicleta:     P_Marte=10Kg·3’7m/s²=37N                   P_Venus=10Kg·8’9m/s²=89N
Coche:         P_Marte=1100Kg·3’7m/s²=4100N          P_Venus=1100Kg·8’9m/s²=9800N