SOLUCIÓN EXAMEN 2BACH CAMPO GRAVITATORIO 1819

1.       Una estrella de masa 7·10³⁰Kg gira en torno a un objeto misterioso en una órbita elíptica cuyo periastro es de 1200 millones de kilómetros y allí se mueve a una velocidad de 63900 m/s.

a)      Supongamos que el apoastro estuviera a 2500 millones de Km, ¿A qué velocidad se movería en ese punto?

b)      Supongamos que la órbita no fuera elíptica, sino circular con un radio de 1200 millones de Km y velocidad 26.000m/s. ¿Qué masa tiene entonces el objeto alrededor del cual gira la estrella?

c)       Si el objeto tiene un radio de 80 Km, calcula la velocidad de escape de ese objeto y decide si es un agujero negro.

Calcula la aceleración de la gravedad sobre la superficie de ese objeto.

Aplicando la 2ª Ley de Kepler, sabemos que p·Vp=a*Va, despejamos la velocidad en el apoastro.

Va=p·Vp/a=1200·10⁶Km·63900(m/s)/2500·10⁶Km=30672 m/s

Para el apartado (b) suponemos que la órbita es circular de radio “p”=1200·10⁶Km, aplicamos la ecuación de la velocidad orbital, desde donde despejamos la masa del objeto “X” alrededor del cual gira la estrella.

2.       Una masa de 3·10²⁴ Kg se encuentra a un millón de Km de otra de 6·10²⁴ Kg situada encima de ella, y a un millón de Km de otra más de 6·10²⁴ Kg situada a su derecha.

a)      ¿Qué fuerza de gravedad ejercen las dos masas sobre la primera?

b)      Calcula el valor del campo gravitatorio en el punto medio situado entre las dos masas de 6·10²⁴ Kg.

Para calcular el campo gravitatorio en el punto central señalado, debemos darnos cuenta que los módulos de g₁ y g₂ son iguales, y los vectores tienen la misma dirección y sentido opuesto, por lo tanto, se anulan el uno con el otro. (Tienen el mismo módulo porque al ser g=G·M/d², y coincidir las masas “M” y la distancia del punto a las masas, el resultado de la operación ha de ser el mismo). Por tanto g_total=g₃+g₁+g₂=g_{3, (TOMADOS COMO VECTORES)}

Lo primero que haremos será calcular el módulo de g₃: (g₃=Gm/d² ) pero para eso debemos saber la distancia del origen al punto en el que calculamos el valor de g. Sabiendo que está en el centro de la línea que une a las masas M, aplicamos el Teorema de Pitágoras. (Ver dibujo)

d²=a²+b²=2·(0’5·10⁹)²m²=5·10¹⁷ m²

g₃=6’67·10^-11 N·m²/Kg² ·3·10²⁴Kg / 5·10¹⁷m²=0’0004 m/s²

Falta conocer la dirección que nos la dará un vector unitario. Como conocemos las coordenadas respecto al origen del punto de interés: (0’5·10⁶, 0’5·10⁶), encontramos el vector unitario:

3. Cuatro masas de 7’5·10³⁰ Kg se encuentran sobre los vértices de un cuadrado de 80 millones de kilómetros de lado.

Calcula el potencial gravitatorio en el centro del cuadrado.

Calcula el trabajo que realiza el campo gravitatorio para transportar una masa de 5·10²⁴Kg desde el centro del cuadrado hasta el punto medio de uno de los lados.

Calcula la energía potencial que tiene una masa debido a la interacción gravitatoria de las otras tres.

Distancia del centro del cuadrado a cada una de las masas, aplicamos el Teorema de Pitágoras:

r² = (L/2)²  + (L/2)²=40² + 40² (millones de Km)² = 3200 (millones Km)²

r= 56’57 millones de Km

Las cuatro masas son iguales y están a la misma distancia del centro del cuadrado por tanto con calcular para una de ellas el potencial, y multiplicar por cuatro nos bastará.

V_{una masa} =-GM/r=-6’67·10^-11 N·m²/Kg² ·7’5·10³⁰Kg / 56’57·10⁹m=-8’84·10⁹ J/Kg

V_centro =4· V_{una masa}= 35’36·10⁹ J/Kg

Ahora calculamos el potencial en el punto medio de un lado cualquiera, (dada la simetría del sistema da igual el lado que elijamos).

Hay dos masas a una distancia (L/2)=40·10⁹ m, el potencial creado por ambas en el punto medio del lado sería:

V_a=2·(-GM/r)=2·(-6’67·10^-11 N·m²/Kg² ·7’5·10³⁰Kg / 40·10⁹m)=-25·10⁹ J/Kg

Otras dos masas está situadas a una distancia d, conocida aplicando el Teorema de Pitágoras:

d²=L²+(L/2)²=80² + 40² (millones Km)²=8000 millones Km ²

d=89’4·10⁹ m

El potencial creado por ambas:

V_b=2·(-GM/r)=2·(-6’67·10^-11 N·m²/Kg² ·7’5·10³⁰Kg / 89’4·10⁹m)=-11’2·10⁹ J/Kg

El potencial total sería la suma de ambos: V_a+V_b=-36’2·10⁹ J/Kg

El trabajo sería entonces: W=-mΔV=m·(V_{medio lado}-V_{centrocuadrado}) =-5·10²⁴Kg(-36’2·10⁹ J/Kg + 25·10⁹ J/Kg)=1’81·10³⁵ J

Calculamos la energía potencial de una masa de un vértice cualquiera, debida a las otras tres masas. Dos de ellas se encuentran situadas a una distancia L, la otra se encuentra situada a una distancia igual a la longitud de la diagonal, es decir, 2·r=113’4 millones de Km, (ya calculado r en el primer apartado).

U=(-Gmm/(2r)) +2·(-Gmm/L)=-Gmm(1/(2r)+2/L)= -6’67·10^-11 N·m²/Kg² ·7’5·10³⁰Kg·7’5·10³⁰ Kg·(1/113’4·10⁹m +1/80·10⁹m)=8·10⁴⁰J