SOLUCIÓN EXAMEN FÍSICA PAEG JUNIO'13 CASTILLA LA MANCHA

Esta es la solución del examen celebrado ayer en Castilla La Mancha de la asignatura de Física. Había que elegir entre la opción A y la opción B. Comenzamos corrigiendo la opción A:

OPCIÓN A
1. Una onda transversal tener la onda transversal que se propaga por la cuerda a 80m/s  se propaga por una cuerda tensa fija por sus extremos con una velocidad de 80 m/s y al reflejarse se forma el cuarto armónico de una onda estacionaria cuya ecuación es y=0.12senkxcoswt (SI), a)Si la longitud de la cuerda tensa es 4 m, calcular los valores de los parámetros k y w y expresar la frecuencia en hercios.
b)¿Cuál es la máxima elongación de un punto de la cuerda situado a 0.5 metros de un extremo?¿Cuál es la máxima aceleración que experimenta ese punto de la cuerda?
c)¿Con qué frecuencia debería tener la onda que se propaga por la cuerda a 80 m/s para que se formará el segundo armónico en lugar del cuarto? Explíquese brevemente.


Se trata de un clásico problema de ondas estacionarias, en el que sabemos la longitud total de la cuerda y el número de nodos a través del conocimiento del armónico formado:
Vemos que el cuarto armónico tiene tres cuatro vientres y cinco nodos contando con los extremos de la cuerda. Como la distancia entre nodos consecutivos es media longitud de onda de la onda transversal que dio origen a la estacionaria, podemos fácilmente calcularla:

Hay cuatro distancias internodales, cada una media longitud de onda, por tanto toda la cuerda ha de ser dos veces la longitud de onda. Por tanto la longitud de onda lambda es 2m

Ahora podemos calcular k y w

k=2·pi/lambda=2·pi /(2m) =pi (1/m)  [Lo dejamos en función del número pi]

c=w/k   despejamos y queda: w=kc=pi·80 (m/s)=80·pi m/s

w=2·pi·f     f=w/(2·pi)=80·pi/(2·pi)=40 Hz  Esta es la frecuencia.

b) Aunque se puede saber de forma inmediata, demos primero un pequeño rodeo. La máxima elongación se calcula teniendo en cuenta que la ecuación de la onda estacionaria es la ecuación de un oscilador situado en la posición "x", en este caso 0.5 m. Todo lo que va delante del cosenos es la amplitud de ese oscilador y por tanto la máxima elongación:

y={0.12·sen(k·0,5)}·cos(wt)          A=0.12·sen(kx)

En este caso A= 0.12·sen(pi·0.5)=0.120    Se trataba de un vientre

Efectivamente, como la longitud de onda sabíamos que era 2 metros, y cada media longitud de onda hay un nodo, en esas posiciones la cuerda vibra al máximo es decir que a 0.5 m, 1.5 m, 2.5 m, ,... La máxima elongación vale 0,12 m.

Para calcular la aceleración nos valdremos del hecho de que todo MAS tiene como característica que la aceleración es proporcional a la elongación, en concreto: a=-w^2·y

Por tanto: a=(80pi)^2·0.12=7580 m/s^2.  

c) Si tuviéramos delante el segundo armónico, sólo habría un nodo central, más los dos extremos, y la distancia de un extremo al nodo central valdría media longitud de onda, por tanto lambda=4 metros, la mitad de la cuerda.
Con esta nueva longitud de onda, la frecuencia sería: lambda·f=c

f=c/lambda=80(m/s)/4m=20 Hz.

2. Una carga eléctrica q₁=+2·10^-5C se encuentra a 6 metros de otra q₂ que ejerce sobre ella una fuerza repulsiva de 0.025 N. Ambas cargas se encuentran fijas en sus posiciones d modo que no pueden moverse. El valor de la constante de la Ley de Coulomb es k=9·10⁹ Nm²C^-2.

a)      Calcular el campo eléctrico en el punto medio del segmento que une las dos cargas. Indicar mediante un esquema su dirección y su sentido.

b)      Calcular la energía potencial electrostática del sistema formado por las dos cargas y potencial en el punto medio del segmento que las une.

c)       Determinar el trabajo necesario para llevar hasta el punto medio del segmento que une a q₁ y q₂ una tercera de q₃=10^-8C procedente del infinito ¿Qué signo tiene este trabajo y como se interpreta?

Primero debemos calcular el valor de la carga número dos, para ello aplicamos la Ley de Coulomb. Y por supuesto despejamos la carga dos:

F_el=K·(q₁·q₂)/d²      à     q₂= F_el  ·d²/(K·q₁)=0.025N·36m/(9·10⁹ (Nm²C^-2)· 2·10^-5C)= 5·10^-6C

Como la segunda carga es de menor cuantía, el campo eléctrico que creará a una misma distancia que la primera será menor . Recordemos que la dirección y sentido del campo creado en un punto es la misma que la de la fuerza que sufriría una carga positiva allí colocada. 

La energía potencial es bien sencilla de calcular, aplicamos la ecuación directamente, pero la distancia es la que mantengan entre ellas, ya no nos estamos refiriendo al punto P:

U=KQ₁·Q₂/D=9·10⁹Nm²/C²·2·10^-5C·0.5·10-6C/6m=0.15 J

c) El trabajo que realiza el campo para transportar una carga de 10^-8C desde el infinito, donde el potencial vale cero, hasta el punto P es:

W=-q₃  (V_P-V_inf)=-q₃V_P=-10^-8C·75.000 V = -7.5·10^-4J

El potencial que hacemos nosotros sería +7.5·10⁴J, positivo, lo que quiere decir que debemos hacer un trabajo gastando energía propia, nuestra, para llevar la carga desde el infinito hasta el punto P.

3. Dos planetas describen órbitas circulares en torno a una estrella de masa muy grande en comparación con ambos planetas. El planeta más cercano está a una distancia R de la estrella y tarda un mes en completar la órbita. El planeta más lejano se encuentra a una distancia 2R. ¿Cuánto tarda este último en describir una órbita completa? Responder razonadamente.

Según la tercera Ley de Kepler, el cuadrado del período es proporcional al cubo del radio de la órbita:

R₁³/R₂³ =T₁²/T₂²     Si R₁ = R, y R₂=2R, sustituimos y entonces:

R³/8R³=1/8= T₁²/T₂²     Ahora sabemos que T₁ es un mes, sustuimos y entonces:

1/8= 1/T₂²     Despejamos T₂²=8  Por tanto T₂=2,83 meses. (Hay que hacer la raíz)

4. Un electrón de masa 9.1·10^-31Kg se mueve a una velocidad de 100 Km/s. Comparar su longitud de onda de De Broglie con la de una partícula de polvo cósmico de masa 9.1·10^-7Kg que se mueva a la misma velocidad , ¿Cuál de ellas es mayor y cuántas veces?

La relación de De Broglie permite conectar una característica de las ondas como es la longitud de onda λ con una propia de las partículas, la masa:

λ =h/mv     Donde h es la constante de Planck.

Planteamos la relación para cada objeto y dividimos uno por el otro para que podamos compararlos:

λ_elec /λ_polvo =[h/m_elec v_elec] / [h/m_polvov_polvo ]= m_polvo / m_elec=9.1·10^-7 Kg/9.1·10^-31 Kg =10²⁴ veces

5. Se utiliza una lente delgada convergente para observar un objeto situado este a una distancia igual a cuatro veces la focal. Construir el diagrama de rayos para la formación de la imagen e indicar si esta es mayor o menor que el objeto, y si estará derecha o invertida.

Salta a la vista que es menor e invertida, hemos elegido tres rayos, aunque con dos basta, el paralelo al eje que es obligado a pasar por el Foco imagen, el que va directo al vértice de la lente y no se desvía, y el que tras pasar por el foco objeto emerge paralelo al eje  óptico.


6. En el laboratorio de Física se dispone de una bobina que consta de un gran número de espiras de cobre estrechamente arrolladas. Las terminales de la bobina se conectan con un amperímetro A, capaz de registrar el paso de corrientes muy pequeñas. Si se introduce un imán muy potente y se deja en reposo en el hueco de la bobina, ¿pasará corriente a través del amperímetro? Explicar razonadamente.


Pues no pasará nada de corriente, porque para que se induzcan corriente eléctricas es necesario que el flujo magnético varíe, lo que no ocurre porque el imán tiene un campo magnético constante, y está en reposo relativo a la bobina. Por otra parte la sección de la bonina tampoco cambia. El resultado es que el flujo magnético es constante, y según la Ley de Faraday, entonces la fem inducida es cero.