1.
Saturno tiene una
masa 95,2 veces la de la Tierra, y su radio es 9,5 veces el de la Tierra.
Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra vale
9,8 m/s2 y el radio de la Tierra que figura en el ejercicio 4.
a.
Valor de la
aceleración de la gravedad sobre la superficie de Saturno.
b.
Velocidad orbital
de Titán, un satélite de Saturno, suponiendo una órbita circular de radio
1.221.850 Km.
c.
Velocidad de
escape para la superficie de Saturno.
[0,5 croquis y dibujos esquemáticos para
el ejercicio, 0,5 uso de unidades; 0,5 cada solución obtenida; 0,5 plantea las
ecuaciones y despeja antes de sustituir los datos numéricos.
a. El valor de la aceleración de
la gravedad sobre un cuerpo celeste se obtiene a través de la ecuación
siguiente:
g=G·Mplaneta/R2planeta
Notemos que es semejante a la ecuación que nos daría
el valor del campo gravitatorio a una distancia R de un cuerpo de masa M.
Sustituimos los datos de Saturno por los que tenemos de la Tierra.
g=G·(95,2MTierra)/(9,52
R2Tierra)=[95,2/9,52]·G·MTierra/R2Tierra=
=[95,2/9,52]·gTierra=[95,2/9,52]·9,8m/s2=10,33
m/s2
b. La figura mayor es Saturno,
y la menor Titán. La velocidad orbital es
Vo=Raíz(G·MSaturno/D)
Procedemos como
antes para Tierra:
Vo=Raíz(G·95,2MTierra/D)
Como sabemos que
gTierra=G·MTierra/R2Tierra,
multiplicamos dentro del radical numerador y denominador por R2Tierra
para que no se modifique el resultado:
Vo=Raíz(R2Tierra·95,2·G·MTierra/(D·R2Tierra))=Raíz(95,2·R2Tierra·g/D)=
=Raíz(95,2·67000002m2·9,8m/s2/1221850000m)=5854,6
m/s
a. Calculamos la velocidad de
escape para el planeta Saturno, la forma de operar es similar a la velocidad
orbital, pero ahora la ecuación es algo distinta:
Vo=Raíz(2·G·MSaturno/RSaturno)=
Raíz(2·G·95,2·MTierra/(9,5RTierra))
Multiplicamos
por RTierra dentro del radical al numerador y al denominador:
=Raíz(2·RTierra·G·95,2·MTierra/(9,5R2Tierra))=Raíz(2·g·95,2·RTierra/9,5)=
=Raíz(2·9,8m/s2·95,2·6700000m/9,5)=36276
Km
2. Dibuja los
siguientes casos [0,5 cada uno; 0,5 todos bien]
a.
Las líneas de
campo alrededor de una masa.
b.
Las líneas de campo
alrededor de una masa mitad de la anterior.
c.
Una masa y una
superficie cerrada cuyo flujo de campo sea cero.
La
correcta es la tercera. Vemos que hay dos regiones claramente delimitadas, la
primera corresponde a un comportamiento lineal, la segunda es una curva
descendente. Sabemos que g en el interior de la Tierra responde a la siguiente
ecuación:
g(r) = 4/3 π·G·d·r
Siendo
d la densidad media del planeta, y r la distancia al centro de la Tierra. Vemos
como es directamente proporcional el valor de g a la distancia al centro de la
Tierra, su representación gráfica ha de ser la recta. En cuanto al exterior,
más allá de la superficie del planeta:
g(r)
= G·M/r2
Que
se corresponde con la parte curva de la gráfica, una zona inversamente
proporcional con el cuadrado de la distancia al centro del planeta.
4.Tres masas de
50, 70 y 100 billones de Kg se encuentran en los vértices de un triángulo
equilátero de 20 m de lado. Una cuarta masa de 25 billones de Kg se coloca en
el centro del triángulo en reposo.
a.
¿Qué energía potencial tendrá la cuarta masa?
b.
Si se traslada al
infinito, y allí permanece en reposo, ¿qué trabajo debemos hacer contra el
campo? G=6.67·10-11Nm2/Kg2
[0,5 croquis; 0,5 uso de unidades; 0,5 escribe las ecuaciones
y despeja antes de sustituir, 0,5 cada solución]
Hemos intentado que el tamaño de las círculos que simbolizan las masas
tengan la información de la cuantía de ella.
Al ser un triángulo
rectángulo, las tres masas de los vértices están a la misma distancia de la
situada en el centro del triángulo. Esta distancia la podemos calcular por
medio del Teorema de Pitágoras.
r=2/3 Bisectriz
Bisectriz2=L2-(L/2)2=3/4L2
r=2/3Bisectriz=(2/3)(raíz(3)/2)L=L/raíz(3)=11,54m
La energía potencial de la
masa M en el centro del triángulo será igual a la suma de las energía
potenciales:
U=U1+U2+U3=-GMM1/r-GMM2/r-GMM3/r=-GM(M1+M2+M3)/r=
=-6.67·10-11Nm2/Kg2·25·1012(50+50+100)·1012Kg/11,54m=-3.18·1016J
Para calcular el trabajo que
hace el campo para trasladar la masa desde ese punto al infinito, donde U=0J,
sabemos que:
W=-∆U=-(U∞-Utri)=-(0+3.18·1012J)=-3.18·1012J
El trabajo que haremos
nosotros será el mismo que el campo, pero cambiado de signo:
Wnuestro=+3.18·1012J
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