SOLUCIÓN EXAMEN CAMPO ELÉCTRICO Y UN EJERCICIO MAGNETISMO 2BACH FÍSICA, CURSO 24-25

 

2.      Una carga positiva se mueve en dirección positiva del eje X. Verticalmente hay un campo eléctrico en dirección positiva del eje Y. EXPLICA el tipo de trayectoria que seguirá la carga.

RESPUESTA OBTENIDA CON IA, (Gemini). DIBUJO DEL AUTOR DEL BLOG

Movimiento inicial:

La carga positiva se mueve inicialmente en la dirección positiva del eje X. Esto significa que tiene una velocidad inicial en esa dirección.

Fuerza eléctrica:

Existe un campo eléctrico vertical en la dirección positiva del eje Y. Un campo eléctrico ejerce una fuerza sobre una carga eléctrica. La fuerza eléctrica (Fe) sobre una carga (q) en un campo eléctrico (E) se calcula como: Fe = qE. Dado que la carga es positiva y el campo eléctrico está en la dirección positiva del eje Y, la fuerza eléctrica también estará en la dirección positiva del eje Y.

Trayectoria resultante:

La carga experimentará dos movimientos simultáneos:

Un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en la dirección del eje X, debido a su velocidad inicial en esa dirección.

Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en la dirección del eje Y, debido a la fuerza eléctrica que actúa en esa dirección.

La combinación de estos dos movimientos da como resultado una trayectoria parabólica. La carga se desviará gradualmente hacia la dirección positiva del eje Y mientras continúa avanzando en la dirección positiva del eje X.

Conclusión:

La trayectoria que seguirá la carga será una parábola, curvándose hacia la dirección positiva del eje Y. Esto es similar a la trayectoria de un proyectil en un campo gravitatorio, donde la gravedad ejerce una fuerza constante hacia abajo, curvando la trayectoria del proyectil. En este caso, el campo eléctrico ejerce una fuerza constante hacia arriba, curvando la trayectoria de la carga.

 

4.      Tres cargas se encuentran situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 10 metros de lado. Las cargas tienen los siguientes valores +3mC, -5 mC, +3mC, en los vértices consecutivos y siguiendo el sentido de las agujas del reloj.

a)     Calcula el valor del potencial en el centro del triángulo.

b)     Calcula el trabajo que realizaría el campo para trasladar la carga desde el centro del triángulo hasta otro punto que equidista 10.000 metros de cada carga.

c)      Calcula el trabajo que realizaríamos desde el exterior para hacer tal operación a velocidad constante.

 

Lo primero es dibujar el triángulo con las cargas. Debemos conocer que el centro del triángulo está a 2/3 del vértice sobre la altura.

 

El potencial total será la suma de los tres potenciales:

V=V₁+V₂+V₃=1.6·10⁶ Voltios.

 

Para calcular el trabajo para desplazar una carga genérica “Q”, debemos primero calcular el potencial en el punto final, ese punto equidista de todas las cargas, a 10.000 metros. Repetimos todo pero con otros valores:

5.      ¿Qué SEMEJANZAS hay entre las fuerzas eléctricas y las fuerzas gravitatorias en el teorema de Gauss, y que no hay en el caso del campo magnético? ¿Qué quiere decir este resultado?

Tanto en el caso del campo gravitatorio como en el caso del campo eléctrico, el resultado de la integral para una superficie encerrada siempre contiene a la masa encerrada, o a la carga encerrada respectivamente. Es decir que relaciona al campo con su causa. Además, es la única variable que contienen.

Sin embargo, en el caso del campo magnético el resultado es siempre nulo, por lo que aparentemente no está diciendo que no hay una causa para la existencia del campo magnético. Lo cual es absurdo en un primer momento. Lo que ocurre es que no existen “cargas magnéticas” o similares, y la causa del campo magnético es una causa vectorial.

∮ g · dA = -4πG * m_encerrada

Donde:

• g es el campo gravitatorio.
• dA es un elemento diferencial de área de la superficie cerrada.
• G es la constante de gravitación universal.
• m_encerrada es la masa total encerrada por la superficie.

∮ E · dA = Q_encerrada / ε₀

Donde:

• E es el campo eléctrico.
• dA es un elemento diferencial de área de la superficie cerrada.
• Q_encerrada es la carga eléctrica total encerrada por la superficie.
• ε₀ es la permitividad del vacío.

Expresión: ∮ B · dA = 0

Donde:

• B es el campo magnético.
• dA es un elemento diferencial de área de la superficie cerrada.

6.      Una carga negativa de -5 μC con una velocidad de 11x10⁵ m/s penetra en un campo magnético de 0.45 T, de forma perpendicular al mismo. Si la masa de la partícula es de 6·10^-27 Kg, …

a)      ¿cuál será el radio de giro?

b)     ¿Cuál es el período y frecuencia de giro?

c)      Demuestra la expresión del radio de giro par el caso de una carga que penetra en un campo magnético perpendicularmente, con una masa m, y una velocidad v. Es imprescindible para puntuar hacer un dibujo explicativo, y definir todas las magnitudes.

En lo que sigue m es la masa de la carga q, v su velocidad, R el radio de la trayectoria, y B el valor del campo. Los vectores están en negrita.

Valor más bajo de lo normal, porque la carga es demasiado grande.

Ahora calculamos el período y la frecuencia. Sabemos v=w·R, y como w=2πν, despejamos la frecuencia:

ν=v/(2πR)=6·10^-11 Hz

T=1/ν=1.6·10¹⁰ s

EJERCICIO NÚMERO 1 Dada la siguiente distribución de cargas, encuentra el valor del campo eléctrico en el punto (4,2), y propón dónde colocarías una carga más para que el campo en ese punto valiera cero.

En el dibujo ya hemos reseñado los vectores campo eléctrico. Calculamos primero los módulos, y para ello debemos conocer las distancias de cada carga al punto, y eso lo haremos mediante el teorema de Pitágoras.

D₁ ²= 4²+2² = 20 m²    D₂ ²= 4²+2² = 20 m²       D₃ ²= 8²+2² = 68 m²

Calculamos los módulos de los vectores:

Sumamos los vectores campo eléctrico: Utilizo KN/C y así elimino el término 10³.

(- 0.89i+0.45j) + (1.35)·( (KN/C) = -4.42i+2.8j KN/C

Deberíamos colocar una carga eléctrica a la derecha de Q₂, probablemente no situada sobre el eje de coordenadas, de valor negativo, para que el vector campo propuesto tenga sentido opuesto al calculado anteriormente.

SOLUCIÓN EXAMEN CAMPO GRAVITATORIO FÍSCA 2BACH 24-25

 Solución del examen de febrero de este tema, en rojo los enunciados.

1.      Una masa “M”, está encerrada en una superficie gaussiana, de forma que el flujo del campo es 8.

a)     Haz el dibujo correspondiente a esa situación.

b)     ¿Podría cambiar el flujo del campo, si la superficie fuera de mayor tamaño que la que has dibujado? Razona tu respuesta.

El flujo del campo sólo depende, según el teorema de Gauss, de la masa encerrada dentro, no del tamaño o forma de la superficie que la encierra. Por tanto, el flujo seguiría siendo 8.

     

2. Kepler-186f es un exoplaneta que orbita alrededor de una estrella enana roja a una distancia de 0.4 UA (unidades astronómicas). Se estima que su masa es 1.4 veces la masa de la Tierra y su radio es 1.1 veces el radio de la Tierra.

a)     Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Kepler-186f.

b)      Un satélite de 10 kg de masa orbita Kepler-186f a una distancia de 12.000 Km. Si el satélite se encuentra dentro de su órbita, en el punto más cercano a la estrella, representa los vectores de intensidad del campo gravitatorio en ese punto y calcula el vector resultante.

 

 Imagen fabricada con IA

DEBES HACER UN DIBUJO EN EL QUE APARTE DE LOS DATOS, ESTÉN LOS VECTORES CAMPO GRAVITATORIO.

 Sobre la superficie de un cuerpo celeste, el campo gravitatorio se define con la siguiente ecuación en función de su masa y del radio del cuerpo astronómico. La masa del planeta es 1.4·M_Tierra, y el radio del planeta R=1.1·R_TIERRA, datos que vienen en el encabezado del examen.

g= G · M/R² = 6.67 × 10^-11 N(m/kg)² · (1.4·5.97·10²⁴ Kg)/(1.1·6.4·10⁶m)²= 11.25 m/s²

DIBUJO CON VECTORES PARA EL APARTADO (b)

                                                                                             

En el punto en cuestión, disponemos del campo gravitatorio de la estrella y del planeta, con sentidos opuestos, por tanto los módulos se restan, y la dirección y sentido del vector resultante será la del campo gravitatorio mayor.

El módulo del campo gravitatorio en el exterior de una masa se calcula con la siguiente expresión: 

g= G · M/d² siendo d la distancia del punto a la masa M.

Tenemos del apartado (a) los datos de la masa del planeta.

g_planeta = G · M/d² = 6.67 × 10^-11 N(m/kg)² · (1.4·5.97·10²⁴ Kg)/(12x10⁶ m )²= 3.20 m/s²

La masa de la estrella figura en el encabezado M_estrella = 2 x 10³⁰kg   ,y la distancia al punto es de 0.4 UA, que se puede pasar a metros d=0.4 UA = 6·10¹⁰ m.

g_estrella = G · M/d² = 6.67 × 10^-11 N(m/kg)² · (2 x 10³⁰kg)/( 6·10¹⁰ m)²= 0.037 m/s²

g_total = g_planeta - g_estrella = (3.20 – 0.037) m/s² = 3.16 m/s²

3.      La Agencia Espacial Europea (ESA) está planeando una misión para estudiar el sistema de Júpiter. Como parte de esta misión, se lanzará una sonda espacial que orbitará alrededor de Júpiter y estudiará sus lunas. En un momento dado, la sonda espacial se encuentra en el punto A, a una distancia de 2 × 10⁸ metros del centro de Júpiter, y a una distancia de 2000 Km de la luna Europa, (cuya masa es 4.80 × 10²² kg. En este punto, la sonda tiene una masa de 100 kg. Júpiter tiene una masa de 1.9 × 10²⁷ kg y un radio de 7 × 10⁷ metros.

a.      Calcula la energía potencial gravitatoria de la sonda espacial en el punto A.

b.       La sonda espacial debe ser trasladada al punto B, situado a una distancia de 3 × 10⁸ metros del centro de Júpiter, y a una distancia de 1700 Km de la luna Europa. Calcula el trabajo necesario para trasladar la sonda desde el punto A hasta el punto B, si se hace a velocidad constante.

c. Dibuja la gráfica energía-posición entre la nave y la luna Europa, (prescinde de Júpiter), con la energía potencial, la energía total. Ten en cuenta que es una órbita cerrada. Sobre la gráfica, a una distancia “d” que elijas, señala cuál sería en ese caso la energía potencial, la cinética y la energía total.

a)      La energía potencial que registra la interacción entre dos masas, situadas a una distancia “d”, viene gobernada por la expresión: Ep=-GMm/d. Cuando aparecen varias masas, interaccionando con otra, se suman las energía potenciales escalarmente. Esto es lo que ocurre en el punto A, donde la sonda adquiere energía potencial de Júpiter y de Europa:

                         Ep = -GM_Jup·m / d_Jup  - GM_Eur·m/d_Eur =…

    …=  -[6.67·10^-11Nm²/Kg²·1.9 × 10²⁷ kg·100Kg/2·10⁸m] – [6.67·10^-11Nm²/Kg²·4.8 × 10²⁰ kg·100Kg/2·10⁶m] = -6.3·10¹⁰ J

La sonda se desplaza por efecto de los cohetes al punto B, que tiene otra localización, pero calcularemos la energía potencial en ese punto de la misma forma que hicimos en el punto a):

Ep = -GM_Jup·m / d_Jup  - GM_Eur·m/d_Eur =…

 …=  -[6.67·10^-11Nm²/Kg²·1.9 × 10²⁷ kg·100Kg/3·10⁸m] – [6.67·10^-11Nm²/Kg²·4.8 × 10²⁰ kg·100Kg/1.7·10⁶m] =- 4.2·10¹⁰ J

El trabajo que hace el campo gravitatorio, al ser una fuerza conservativa, es:

W=-ΔE_p=-[- 4.2·10¹⁰ J-(-)6.3·10¹⁰ J] = - 2.1·10¹⁰ J.

En el cálculo anterior hay que tener mucho cuidado con los signos menos, que están acumulados unos delante de otros. El trabajo que harían los cohetes, al ser a velocidad constante sin que cambie la energía cinética, sería el mismo que el del campo gravitatorio, pero de signo opuesto:

W_cohetes= - W_campo = 2.1·10¹⁰ Julios.

c) Al ser una órbita cerrada, la energía total sería negativa:

4.      Una masa “m” penetra verticalmente y hacia arriba en una región donde existe un campo gravitatorio horizontal hacia la derecha. Razona y concluye el tipo de trayectoria que seguirá la masa en esa región.

Debemos analizar qué tipo de movimiento hay en dos ejes perpendiculares, que por comodidad en este ejercicio pueden ser vertical y horizontal. En el eje vertical no actúan fuerzas, por lo que no hay aceleración. (Recuerda la segunda ley de Newton: F= m·a). Así pues con la velocidad que comience a desplazarse en el eje vertical, con ella permanecerá. En este caso ascendente.

En resumen, en el eje vertical, mantendrá un MRU, movimiento rectilíneo uniforme.

En cambio, en el eje horizontal hay un campo gravitatorio “g”, que hará que la pasa sea “empujada” hacia la derecha. Al existir una una fuerza hacia la derecha, aparece una aceleración igualmente hacia la derecha, por tanto tendremos horizontalmente un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: MRUA, que hará que a cada instante se incremente la velocidad de desplazamiento hacia la derecha.

EL movimiento completo será la suma de ambos, MRUA en horizontal, y MRU vertical. Como resultado es un movimiento parabólico, cuya trayectoria podría ser esta:

54.      La luna Titán, la más grande de Saturno, es un mundo fascinante con una atmósfera densa y lagos de metano líquido. La Agencia Espacial Internacional (ASI) planea enviar una sonda a Titán para estudiar su superficie y su atmósfera. La sonda espacial, de 200 kg de masa, se encuentra en órbita circular alrededor de Titán a una altura de 500 km sobre su superficie.

Datos:

• Masa de Titán: 1.35 × 10^23 kg
• Radio de Titán: 2.575 × 10^6 m
• Constante de gravitación universal (G): 6.67 × 10^-11 N(m/kg)^2

Preguntas:

a)     Calcula la velocidad orbital de la sonda espacial alrededor de Titán.

b)     Deduce la ecuación de la velocidad de escape para un objeto que de vueltas alrededor de otro, y ligados ambos por la fuerza de la gravedad.

c)      ¿Cuál sería la velocidad de escape necesaria para que la sonda abandone la influencia gravitatoria de Titán desde su órbita actual?

a)      La sonda está orbitando a 500 Km sobre la superficie, así que orbita a una distancia del centro de Titán de 5x10⁵ m +25.75·10⁵ m = 30.75·10⁵ m

La ecuación para calcular la velocidad de escape viene a ser:

a)      Si el cuerpo debe escapar de la atracción gravitatoria, debe poder llegar a despegar con una velocidad de escape, y llegar hasta el infinito, y allí detenerse. En el infinito no tendría velocidad, y tampoco tendría energía potencial. Por tanto, la energía mecánica total sería cero.

En ausencia de rozamiento, u otras interacciones, (caso ideal), la energía se conservaría y por tanto la energía que tuviera la nave al final, sería la energía que tuviera al comienzo, así en este caso cero.

La energía que tendría la nave al comienzo se dividiría en cinética y potencial. Y dentro de la expresión de energía cinética encontraríamos la velocidad de escape:

0=1/2 m·v_esc² –GM_TITÁN m/d

Siendo m la masa de la nave, M_TITÁN la masa de Titán, y d la distancia de la nave al centro de Titán, en este caso el radio de la órbita d=R_ORB.

0=1/2 m·v_esc² –GM_TITÁN m/R_orb

Despejamos directamente y obtenemos la velocidad de escape: