viernes, 23 de marzo de 2018

SOLUCIÓN EXAMEN EJERCICIOS CINEMÁTICA 1718 1CTA


1.       Un objeto se mueve siguiendo la siguiente Ley del Movimiento:


a.       Encuentra el vector velocidad instantánea. Calcula el valor de la velocidad en t=2s.

b.      Encuentra el vector aceleración instantánea. Calcula el valor de la aceleración en t=2s.

c.       Calcula el vector desplazamiento entre t=0s y t=2 s, y calcula la distancia del desplazamiento.



Derivamos una vez para encontrar el vector velocidad instantáneo:

V=dr/dt=t·i + 3j

Calculamos para t=2s el vector velocidad: v=2i+3j

Derivamos de nuevo y obtenemos el vector aceleración instantánea:

a=dv/dt= i

Que es constante en el tiempo el vector, por lo que a los dos segundos a=i

Para calcular el vector desplazamiento entre 0 y 2 segundos calculamos el vector de posición en esos dos instantes, y restamos el uno del otro:

r(0s)=2i+j

r(2s)=4i+7j

Desplazamiento=r(2s)-r(0s)=2i+6j

La distancia pedida es el módulo del vector anterior

Distancia=raíz(22+62)=raíz(40)= 6’32 m



2.       Un niño se encuentra a 5 metros de la vertical de caída de un balón que está en lo alto de un árbol. En un momento dado, el balón comienza a caer desde los 20 metros de altura.

a)      ¿Con qué velocidad llega al suelo el balón y cuánto tarda en caer?

b)      ¿A qué velocidad debe correr el niño para coger el balón en el momento de llegar al suelo?


El balón cae a lo largo del eje Y con un MRUA, según la Ley: y=y0+Voyt+1/2 ayt2    Que al tener varias magnitudes ifual a cero queda de la siguiente manera:
0=y0+1/2 ay·t2
De esta euación podemos calcular el tiempo que debe tardar el balón en llegar al suelo:
t=RAÍZ(-y0·2/ay)=RAÍZ(-2·20m/-9’8m/s2)=2’02 segundos
Este es el tiempo que debe emplear el chico para a velocidad constante coger el balón antes de llegar al suelo, el chico sigue ecuación de movimiento rectilíneo con a=0 m/s2
X=x0+Vx·t
Vx=-x0/t=-20m/2’02s=9’9 m/s
3.       Una rueda de 25 cm de radio gira con una velocidad lineal de 100 Km/h constante su punto exterior.
a.       Calcula la velocidad angular, período y frecuencia de giro de la rueda.
b.      Calcula la aceleración normal de un punto exterior de la rueda.
Hacemos un cambio de unidades  100 Km/h·1000m/1Km·1h/3600s=27,8 m/s
Calculamos la velocidad angular a través de su ecuación de relación con la velocidad lineal.
W=v/R= 27’8m/s/0,25m=111’11 rad/s
Conocida la velocidad angular calculamos la frecuencia:
W=2F            F=w/2=111,11 rad/s/2=17,7 Hz
Y ahora el período: T=1/F=0’057 s
Finalmente la aceleración normal:    an=V2/R=(27,8m/s)2/0,25m=3091’4 m/s2
4 Disparamos un proyectil con un ángulo de 52º y con una velocidad de 175 m/s. Calcula la altura que alcanza el proyectil, y el alcance máximo que obtenemos. Dibuja los vectores velocidad y aceleración en los puntos más alto del recorrido, a media bajada y en el punto de aterrizaje.


La velocidad inicial V0 la descomponemos en cartesianas:

V0x=V0·cos(52)=175m/s·cos(52)=107’7 m/s
V0y=V0·sen(52)=175m/s·sen(52)=137’9 m/s

El punto más elevado de la trayectoria se caracteriza porque la componente “y” de la velocidad se anula. El cuerpo deja de ascender.

Vy=Vy0+gt             0= Vy0+gt                 Despejamos el tiempo y sabemos lo que tardará el objeto en ascender.

t=-Voy/g=-137’9 m/s/-9’8 m/s2=14 segundos

Ahora podemos saber hasta que altura asciende.

Y=y0+V0yt+1/2gt2= V0yt+1/2gt2=137’9m/s·14s-1/2·9’8m/s2·142s2=970,2 metros

En cuanto al alcance, como se trata de un movimiento simétrico en este caso, lo que tardará en subir es lo que tardará en bajar, por tanto el recorrido completo es 28 segundos. En ese tiempo se ha movido horizontalmente la siguiente distancia:
X=X0+V0x·t=107’7m/s·28s=2015’6 metros

5       Un objeto describe un MAS con un período de 5 segundos. De extremo a extremo del movimiento recorre 10 cm. No hay fase inicial.
a)      Encuentra la ecuación del movimiento, y calcula la posición a los 1,25 segundos y a los 2,5 segundos.
b)      Encuentra la ecuación de la velocidad y de la aceleración, y calcula sus valores en los mismos instantes que en (a).
        Como de extremo a extremo hay 10 cm, la amplitud será la mitad de esa cantidad: A=5 cm.
Conocido el período w=2/T=2/5 rad/s.  La ecuación del MAS será:
X=A·sen(wt)=5·sen(2/5·t)
Calculamos la expresión anterior para t=1,25 segundos y 2,5 segundos. Tenemos que tener cuidado con la calculadora, que debe de estar en modo radianes para calcular el seno.
X=5·sen(2/5·2’5s)=0 cm
X=5·sen(2/5·1’25s)=5 cm
La expresión de la velocidad es
V=Aw·cos(wt)=5·2/5·cos(2/5·t)=2·cos(2/5·t)
Calculamos los valores:  v(1,25s)= 2·cos(2/5·1’25s)=0 cm/s
v(2’5s)= 2·cos(2/5·2’5s)=-2 cm/s
La aceleración se obtiene de a=-w2·x=-42·5·sen(2/5·t)=- 202sen(2/5·t)
Y ahora obtenemos el valor de la aceleración en los instantes pedidos:
a(2’5s)=-w2·x=-42·0cm=0cm/s2
a(1’25s)=-w2·x=-42·5cm=-202 cm/s2

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