1.
Dos esferas de 100 gramos de masa cuelgan con la
misma carga de dos hilos de 4 metros de longitud, colgados ambos del mismo
punto. Como consecuencia, se repelen y las masas se separan formando un ángulo
de 5º los hilos con la vertical. ¿Qué carga tiene cada esfera, y qué tensión
soporta el hilo? [ES 712 dibuja todas las fuerzas 0,5; 0,5 unidades ES711: 1
resuelve; ES 132: 0’5 opera con vectores]
Reproducimos la situación física con ayuda
del croquis en el que figuran las fuerzas que actúan sobre una de las dos masas
cargadas. Sobre ella actúan tres fuerzas únicamente: El peso, la fuerza de
repulsión electrostática, y la tensión. Esta última hay que descomponerla en Tx
y Ty, para poder sumar vectorialmente las fuerzas y buscar que la resultante de
la suma sea cero.
En el eje Y, la condición de equilibrio
obliga que el peso sea compensado con la componente de la tensión, por tanto:
TY=P=m·g=0’1Kg·9’8m/s2=0’98N
Conocida la componente Ty,
podemos calcular la tensión: Ty=T·cos(5)=0’983N
En el eje X, la componente TX
compensa la acción de las fuerzas eléctricas de repulsión: Tx=Fe.
Calculamos la componente X de la tensión por trigonometría, y la fuerza
eléctrostática de repulsión aplicando la Ley de Coulomb.
Tx=T·sen(5)=0’086N
Fe=K·q·q/d2 Siendo K=9·109Nm2/C2,
q la carga, y d la distancia entre las cargas.
No conocemos la distancia “d”, pero la
calculamos a partir de la longitud del hilo por medio de la trigonometría:
d/2=L·sen(5)=4m·sen(5)
d=2·4m·sen(5)=0’70m
Despejamos
q, y ya podemos calcular el valor de las cargas, que no el signo.
q=RAIZ(Tx/K)·d=RAIZ(0’086N/9·109Nm2/C2)·0’7m=2’16·10-6C
2. Calcula la tensión y la aceleración con la que el
cuerpo situado sobre el plano inclinado de 30º desciende. DATOS: Masa situada sobre el plano inclinado:
40 Kg, Masa colgando a la izquierda: 5 Kg, Coeficiente de rozamiento en el
plano: 0,25.
[ES 721 Croquis con las fuerzas 0’5; Plantea las
ecuaciones correspondientes 0,5p, y ES 722: despeja antes de sustituir valores
numéricos 0,5p; 723 cada solución 0,5]
El objeto 1 es el situado a la izquierda,
sobre él actúa la Tensión “T”, y el peso “P1”. Sobre el Cuerpo 2, actúa el peso
“P2” que hemos descompuesto en el peso tangencial Pt2 y el peso normal Pn2, al
cual reacciona el piso del plano inclinado con la fuerza Normal “N”, también
actúa una Tensión “T” y una Fuerza de rozamiento “Fr”.
En la descomposición del plano inclinado
del peso del objeto 2, nos apoyamos en el ángulo del plano inclinado “α”, que
será el mismo que hay entre el propio peso, y su componente normal. En estas
condiciones:
Pt2=P2·sen(30) Pn2=P2·cos(30)
Al intervenir una fuerza de rozamiento,
recordemos que esta es proporcional a la reacción normal de suelo, a través del
coeficiente de rozamiento:
Fr=µ·N
Y que a su vez, la reacción normal del
suelo es igual a la componente normal del peso: Fr=µ· P2·cos(30)
Planteamos la segunda Ley de Newton en la
dirección del movimiento de ambos bloques, sabiendo que al estar unidos por una
cuerda inextensible, se deben mover con la misma velocidad y aceleración “a”.
T-P1 =M1a
Pt2-Fr-T=M2a
Las incógnitas las hemos marcado de rojo,
como vemos tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Si sumamos
las dos ecuaciones logramos eliminar la tensión, de forma que despejando
podamos obtener la aceleración.
T-P1
+ Pt2-Fr-T =M1a+ M2a
Pt2-Fr-P1=(M1+M2)a
[P2·sen(30)-µ· P2·cos(30)-
P1]=(M1+M2)a
a=[P2·sen(30)-µ· P2·cos(30)-
P1]/(M1+M2)=[M2g·sen(30)-µ·M2g·cos(30)-M1g]/
(M1+M2)
a= [40Kg·9’8m/s2 ·sen(30)-0,25·40Kg·9’8m/s2-5Kg·9,8m/s2]/(45Kg)=3’07m/s2
Con la aceleración calculada, sustituida en
una de las ecuaciones del movimiento, en concreto en la del cuerpo número 1,
calculamos la tensión:
T=M1a+M1g=M1(a+g)=5Kg·(9’8m/s2+3,07m/s2)=64’4Kg
3. Un juguete sobre ruedas de 230 gr se mueve a una
velocidad de 0’5 m/s, entonces lanza hacia adelante al muñeco de 30 gr que
tenía dentro con una velocidad de 2 m/s, ¿qué le ocurre al resto del juguete?.
ES 741: croquis y unidades: 0,5; ES 742: Uso de magnitud física apropiada 0,5,
ecuaciones vectoriales sin sustituir antes de despejar: 0,5; ES 743: resolución
1]
Como no actúa fuerzas exteriores ajenas al
juguete, que aquí hemos simbolizado toscamente por medio de rectángulos,
entonces la cantidad de movimiento se conserva:
∆p=0Kgm/s
Esto significa que la cantidad de movimiento inicial y final del sistema
coinciden.
p0=pf
p0=M·V
pf=M1·V1+M2·V2
Igualamos las expresiones, y despejamos la
velocidad número 2:
M·V= M1·V1+M2·V2
M2·V2= M·V- M1·V1
V2 =[M·V- M1·V1]/M2=[230g·0’5m/s-30g·2m/s]/200g=0’275
m/s
El juguete seguirá moviéndose hacia la
derecha, pero más despacio.
4.
Una masa de 200 gramos se mueve sobre una
superficie horizontal con una velocidad de 20 m/s. Entra en una zona rugosa de
100 m de longitud que lo frena parcialmente por el rozamiento. ES 811 croquis y
unidades 0,5; 821 solución caso b 0,5, es 831: solución caso a 0,5 p; 0,5 más
en 821 y 831 por planteamiento adecuado ecuaciones y despeje antes de sustituir
datos numéricos]
a.
Sabiendo que su velocidad se reduce a la mitad,
¿cuál es el valor del coeficiente de rozamiento?
b.
Tras pasar por la zona rugosa, se topa con un
muelle de K=104 N/m. ¿Cuánto se puede llegar a comprimir el muelle
tras golpear la masa y quedarse unidos ambos? NOTA: No se trata de un ejercicio
de choques, la descripción sólo indica lo que se vería delante de nosotros.
Hagamos primero un croquis de la
primera parte del ejercicio, la del apartado (a). En ella la energía mecánica no
se conserva porque la fuerza de rozamiento está ejerciendo un trabajo que la
está disipando:
WNC=∆Em
Fr·L·cos(180)=1/2m·V22
- 1/2m·V12 =1/2·m·(V22-V12)
La fuerza de rozamiento es
siempre el producto del coeficiente de rozamiento por la reacción normal del
suelo, que en este caso es igual al peso del objeto que se apoya sobre la
superficie horizontal.
µ·m·g·L·cos(180)=
1/2·m·(V22-V12)
Ahora despejamos el coeficiente
de rozamiento:
µ=[1/2·m·(V22-V12)]
/ m·g·L·cos(180)
µ=[1/2·(102-202)m2/s2]
/ (9’8m/s2·100m·(-1))=0’15
El objeto cuando comprime al
máximo al muelle, es que se ha detenido, porque si no seguiría comprimiéndolo.
WNC=0=∆Em
En el inicio, la energía mecánica
es totalmente de tipo cinético, mientras que en la situación final es de tipo
potencial elástico:
0=∆Em
Em3=Em2 Em2=Ec2=1/2m·V22 Em3=Ep3=1/2KX2
Igualamos ambas cantidades, y
despejamos “X”:
1/2m·V22=1/2KX2 X=RAIZ(M/K)· V2=RAIZ(0,2kg/104N/m)·10m/s=0’045m
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